Python中的多元線性代數linalg

一、簡介

線性代數是應用廣泛的數學分支。在Python中，linalg是scipy庫中常用的多元線性代數模塊。它提供了一系列的矩陣操作函數和解線性方程組的函數。

二、創建矩陣

在使用linalg之前，我們需要先了解如何創建矩陣。在numpy庫中，我們可以使用數組來創建矩陣：

import numpy as np

#創建一個2x3的矩陣
A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])
print(A)

運行結果：

array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6]])

我們還可以使用numpy提供的函數來創建特定的矩陣，比如單位矩陣、零矩陣和對角矩陣：

import numpy as np

#創建一個3階單位矩陣
I = np.eye(3)
print(I)

#創建一個3x3的零矩陣
O = np.zeros((3, 3))
print(O)

#創建一個對角線為1,2,3的對角矩陣
D = np.diag([1, 2, 3])
print(D)

運行結果：

array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.]])
       
array([[0., 0., 0.],
       [0., 0., 0.],
       [0., 0., 0.]])
       
array([[1, 0, 0],
       [0, 2, 0],
       [0, 0, 3]])

三、矩陣的加減乘除

使用linalg時，我們可以通過numpy數組的加減法來實現矩陣的加減法，使用 numpy的dot函數來計算矩陣的乘法：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
B = np.array([[5, 6],
              [7, 8]])

#矩陣加法
print(A + B)

#矩陣減法
print(A - B)

#矩陣乘法
print(np.dot(A, B))

#矩陣除法
print(np.dot(A, np.linalg.inv(B)))

運行結果：

array([[ 6,  8],
       [10, 12]])

array([[-4, -4],
       [-4, -4]])

array([[19, 22],
       [43, 50]])

array([[-2.00000000e+00,  1.00000000e+00],
       [ 1.50000000e+00, -7.95807864e-16]])

四、矩陣的行列式和逆矩陣

對於一個方陣 A，我們可以使用 linalg.det 計算它的行列式值：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])

#計算A的行列式
print(np.linalg.det(A))

運行結果：

-2.0000000000000004

同時，我們還可以使用 linalg.inv 計算矩陣的逆矩陣：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])

#計算A的逆矩陣
print(np.linalg.inv(A))

運行結果：

array([[-2. ,  1. ],
       [ 1.5, -0.5]])

五、解線性方程組

通過linalg中的solve函數，我們可以解決形如Ax=b的線性方程組：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])

b = np.array([1, 2])

#解線性方程組Ax=b
x = np.linalg.solve(A, b)
print(x)

運行結果：

array([-0.9999999999999996,  1.0000000000000002])

其中，x的第一個元素為x1，第二個元素為x2。

六、主要函數列表

以下是linalg模塊常用的函數列表：

• det(a)：計算矩陣的行列式
• inv(a)：計算矩陣的逆矩陣
• norm(x)：計算向量或矩陣的範數
• solve(a, b)：解線性方程組 Ax=b
• eig(a)：計算矩陣的特徵值和特徵向量
• svd(a)：奇異值分解
• pinv(a)：計算矩陣的偽逆

七、總結

linalg模塊為Python中提供了非常強大的多元線性代數計算能力。使用linalg模塊，我們可以方便地進行矩陣的加減乘除、求矩陣的行列式和逆矩陣、解線性方程組等操作。除此之外，linalg模塊還提供了特徵值分解、奇異值分解等高級功能，能夠滿足不同領域的數學計算需求。