Python實現Softmax函數

介紹

機器學習領域中的softmax函數，是用於將一個向量轉換為概率分布的函數。在神經網絡里，常常被用於將神經網絡的輸出轉化為對應的概率分布，常用於多分類問題中。

因為softmax函數涉及到指數運算，可能會存在數值精度問題。同時，對於大部分深度學習框架而言，都已經自帶了softmax函數的實現。但是，手寫的softmax函數的實現可以更好地加深對softmax函數的理解，也有助於深入理解其數學原理。

數學原理

softmax函數的公式如下：

def softmax(x):
    return np.exp(x) / np.sum(np.exp(x), axis=0)

其中exp表示指數函數，x是輸入的向量。softmax函數的輸出是一個與x等長的概率分布向量。對於其中的每個值，都代表了該類別的概率。

softmax函數的計算過程分為以下幾個步驟：

1. 將輸入的向量x的每個元素取指數exp(x)
2. 將向量每個元素與整個向量元素的和做除法
3. 輸出結果為一個概率分布向量

實現細節

在手寫softmax函數時，需要考慮到數值穩定性的問題，這是由於指數函數的極限增長性質。當向量元素絕對值較大時，exp()的結果會非常大，可能會越出計算機的表示範圍，從而導致溢出問題。若採用浮點數表示，同時當x的每個元素漸近於負無窮大時，exp()的結果會趨近於0，從而導致下溢問題。

為了避免以上的問題，通常採用以下兩種處理方式：

1. 最簡單的做法是減去輸入向量中的最大值max(x)，即softmax(x) = softmax(x – max(x))，這保證了決不會發生上溢。同時，將所有的x減去同一個值不影響softmax的輸出結果。
2. 另一種常用方法是使用log-sum-exp技巧。這種方法可以避免指數函數溢出，同時也可避免取指數造成的下溢問題。其公式如下：

def softmax(x):
    x = x - np.max(x)
    exp_x = np.exp(x)
    return exp_x / np.sum(exp_x, axis=0)

def softmax_ls(x):
    x = x - np.max(x)
    log_sum_exp = np.log(np.sum(np.exp(x)))
    return x - log_sum_exp

小結

softmax函數在機器學習中有着非常廣泛的應用，特別是在分類方面。手寫實現softmax函數有助於加深對其數學原理的理解，同時也能更好地理解其在概率分布方面的作用。在實現時，我們需要特別注意數值精度的問題，可以採用log-sum-exp技巧或者對輸入向量進行平移以保證數值的穩定性。