本文目錄一覽：
- 1、皮亞諾曲線是什麼
- 2、皮亞諾曲線怎麼理解
- 3、如何構造皮亞諾曲線?
皮亞諾曲線是什麼
皮亞諾曲線是曲線序列的極限，不是通常定義下的曲線。而是恰當選擇函數，畫出一條連續的參數曲線，當參數t在0、1區間取值時，曲線將遍歷單位正方形中所有的點，得到一條充滿空間的曲線。 所以皮亞諾曲線是一條連續而又不可導的曲線。
皮亞諾曲線怎麼理解
皮亞諾曲線是一種奇怪的曲線，只要恰當選擇函數和由定義的一條連續的參數曲線，當參數t在0，1區間取值時，曲線將遍歷單位正方形中所有的點，得到一條充滿空間的曲線。 皮亞諾曲線是一條連續而又不可導的曲線。
一般來說，一維的東西是不可能填滿2維的方格的。 但是皮亞諾曲線恰恰給出了反例。
這說明我們對維數的認識是有缺陷的，有必要重新考察維數的定義。 這就是分形幾何考慮的問題。 在分形幾何中， 維數可以是分數叫做分維。
如何構造皮亞諾曲線?
皮亞諾曲線（非希爾伯特曲線）構造方法如下：
取一個正方形並且把它分出9個相等的小正方形，然後從左下角的正方形開始至右上角的正方形結束，依次把小正方形的中心用線段連接起來。
下一步把每個小正方形分成9個相等的正方形，然後上述方式把其中中心連接起來……將這種操作手續無限進行下去，最終得到的極限情況的曲線就可以填滿整個平面。
希爾伯特曲線和實數的不可數性
1877年，康托給出了從一維到二維的一一映射。皮亞諾和希爾伯特分別於1890年和1891年給出了一種可以充滿整個平面的曲線。
希爾伯特曲線由一個大正方形分成9個小正方形，再不斷的把每個小正方形分成更小的正方形得到的邊組成的曲線。這實際上是一個遞歸過程。
也可認為希爾伯特曲線是在上面基礎上把小正方形的中心點連接起來得到的曲線。這兩種表示方法在本節的討論中並沒有區別，在下面的過中位線作截線的過程中可以發現，這兩種曲線與截線的交點是一一對應的。
以上內容參考來源：百度百科-皮亞諾曲線
原創文章，作者：小藍，如若轉載，請註明出處：https://www.506064.com/zh-hant/n/187439.html
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