多層感知機（MLP）網絡詳解

一、什麼是多層感知機（MLP）

多層感知機（Multi-Layer Perceptron，MLP）是一種前饋人工神經網絡，可以用於分類、回歸、預測等任務。它是一個多層的結構，每一層都由多個神經元組成，前一層的輸出作為下一層的輸入。

MLP可以解決非線性問題，如圖像識別、自然語言處理等。其結構簡單、易於實現，因此被廣泛應用。

二、MLP的結構

如上所述，MLP是一個多層的結構，每一層由多個神經元組成。根據層數不同，可以分為單隱藏層或多隱藏層網絡，本文介紹的是單隱藏層的MLP網絡。

在單隱藏層的MLP中，輸入層的神經元數目為n，隱藏層的神經元數目為h，輸出層的神經元數目為m。其中，n、h、m均為正整數。如下圖所示：

    Input Layer                Hidden Layer               Output Layer
Input 1---------      ------------           ----------------          ------------Output 1
          |                   |                                   |                                  |
Input 2--------       ------------           ----------------          ------------Output 2
         |                    |                                   |                                  |
        …                     …                                   …                                  …
          |                     |                                   |                                  |
Input n ---------     ------------           ----------------          ------------Output m

三、前向傳播

前向傳播是指從輸入層開始，逐層傳遞信號直至輸出層的過程。

在前向傳播中，輸入層的數值被傳遞至隱藏層，隱藏層的數值再被傳遞至輸出層。在傳遞過程中，神經元會對上一層的輸入進行加權求和，並通過激活函數進行非線性變換。如下圖所示：

                         output_j = σ(w_j*x + b_j)
       
                    w_1           w_2          …          w_h
Input_1   ------|           |               |        |------------------Output_1
                    |             |                |
Input_2   ------|           |               |        |------------------Output_2
                    |             |                |
     …            |             |                |                …
                    |             |                |
Input_n   ------|___________|____________|  |------------------Output_m

其中，x為輸入，w為權重，b為偏置，σ為激活函數。在隱藏層和輸出層均為使用相同的激活函數，常見的有sigmoid、ReLU等函數。

四、誤差反向傳播

誤差反向傳播（Backpropagation algorithm）是指從輸出層開始，逐層反向求解誤差、調整權重的過程。

在誤差反向傳播中，首先需要定義一個損失函數，用于衡量預測值和真實值之間的誤差。常見的損失函數有均方誤差（MSE）、交叉熵等。

模型訓練時，誤差會從輸出層傳遞至隱藏層，最終傳遞至輸入層。在傳遞過程中，將誤差按照權重進行分配，並根據分配的誤差來更新權重。

在誤差反向傳播中，每一個神經元都有三個重要的梯度：輸出梯度、權重梯度和偏置梯度。它們分別代表着誤差對輸出值、權重和偏置的影響程度。通過計算梯度可以對模型進行調整，直到損失函數的值達到最小。

五、示例代碼

1. MLP的實現（Python）

import numpy as np

class MLP:
    def __init__(self, input_dim, hidden_dim, output_dim):
        self.input_dim = input_dim
        self.hidden_dim = hidden_dim
        self.output_dim = output_dim
        np.random.seed(42)
        self.weights1 = np.random.randn(input_dim,hidden_dim)
        self.weights2 = np.random.randn(hidden_dim,output_dim)
    
    def forward(self, x):
        self.hidden = np.dot(x, self.weights1)
        self.hidden_activation = self.sigmoid(self.hidden)
        self.output = np.dot(self.hidden_activation, self.weights2)
        return self.output
    
    def sigmoid(self, x):
        return 1/(1 + np.exp(-x))

2. MNIST手寫數字識別（Python）

下面介紹如何使用MLP網絡實現MNIST手寫數字分類。

from keras.datasets import mnist
from sklearn.neural_network import MLPClassifier

# 加載數據
(X_train, y_train), (X_test, y_test) = mnist.load_data()

# 處理數據
X_train = X_train.reshape((60000, 28*28))
X_test = X_test.reshape((10000, 28*28))
X_train = X_train.astype('float32') / 255
X_test = X_test.astype('float32') / 255

# 構建模型
mlp = MLPClassifier(hidden_layer_sizes=(100,), max_iter=10, alpha=1e-4,
                    solver='sgd', verbose=10, tol=1e-4, random_state=42,
                    learning_rate_init=.1)

# 訓練模型
mlp.fit(X_train, y_train)

# 評估模型
accuracy = mlp.score(X_test, y_test)
print('Accuracy:', accuracy)

六、總結

在本文中，我們對MLP的原理、結構、前向傳播、誤差反向傳播進行了詳細介紹，並提供了Python代碼示例。MLP是一種前饋人工神經網絡，常用於分類、回歸、預測等任務。它的結構簡單、易於實現，並且可以解決非線性問題。