擴展卡爾曼濾波算法

一、基本概念

擴展卡爾曼濾波算法（EKF）是一種非線性濾波算法，是卡爾曼濾波算法的擴展版本。EKF是一種遞歸估計的濾波算法，用於從不完全或噪聲干擾的測量中提取狀態信息。

EKF的基本原理是通過對非線性狀態方程的線性化，對卡爾曼濾波算法進行擴展，以適應非線性系統。EKF通常應用於機器人、導航和機械控制等領域。

二、算法流程

EKF算法主要分為兩個步驟：預測和更新。

1. 預測

在預測步驟中，我們使用狀態方程和控制輸入來預測狀態。假設我們有一個非線性狀態方程：

x(k) = f(x(k-1), u(k-1)) + w(k-1)

其中，x是狀態向量，u是控制輸入，w是過程噪聲。我們對f進行泰勒展開，並將一階項保留：

x(k) ≈ F(k-1)x(k-1) + B(k-1)u(k-1) + w(k-1)

其中，F是狀態轉移矩陣，B是控制輸入矩陣。我們還需要計算過程協方差矩陣：

P(k|k-1) ≈ F(k-1)P(k-1|k-1)F(k-1)^T + Q(k-1)

其中，P是協方差矩陣，Q是過程噪聲協方差矩陣。最後，我們得到預測的狀態向量和協方差矩陣：

x(k|k-1) = F(k-1)x(k-1) + B(k-1)u(k-1)
P(k|k-1) = F(k-1)P(k-1|k-1)F(k-1)^T + Q(k-1)

2. 更新

在更新步驟中，我們使用觀測模型和觀測向量來更新預測狀態。假設我們有一個非線性觀測方程：

z(k) = h(x(k)) + v(k)

其中，z是觀測向量，v是觀測噪聲。我們對h進行泰勒展開，並將一階項保留：

z(k) ≈ H(k)x(k) + v(k)

其中，H是觀測矩陣。我們還需要計算觀測協方差矩陣和卡爾曼增益：

S(k) = H(k)P(k|k-1)H(k)^T + R(k)
K(k) = P(k|k-1)H(k)^TS(k)^-1

其中，S是觀測協方差矩陣，R是觀測噪聲協方差矩陣。最後，我們得到更新的狀態向量和協方差矩陣：

x(k|k) = x(k|k-1) + K(k)(z(k) - H(k)x(k|k-1))
P(k|k) =(I - K(k)H(k))P(k|k-1)

三、代碼示例

1. 預測

def prediction(x, P, Q, F, B, u):
    x = F @ x + B @ u
    P = F @ P @ F.T + Q
    return x, P

2. 更新

def update(x, P, z, H, R):
    S = H @ P @ H.T + R
    K = P @ H.T @ np.linalg.inv(S)
    x = x + K @ (z - H @ x)
    P = (np.eye(len(x)) - K @ H) @ P
    return x, P

四、總結

本文介紹了擴展卡爾曼濾波算法的基本概念和算法流程，並給出了相應的代碼示例。EKF是卡爾曼濾波算法的擴展版本，常用於非線性系統中提取狀態信息。EKF通過對非線性狀態方程的線性化，對卡爾曼濾波算法進行擴展，以適應非線性系統。