公共子序列詳解

一、公共子序列介紹

公共子序列是一種在兩個或多個序列中出現的子序列，它們在原序列中的相對順序與相同，但在位置不必相鄰。 公共長度計數是用數學術語來描述公共子序列中的元素數目。

在計算機科學中，公共子序列的應用非常廣泛，如計算機編程、文字處理、數據壓縮等領域。

二、求解公共子序列方式

常用的求解公共子序列的算法有三種：

1. 暴力法

def LSC1(str1, str2):
    m, n = len(str1), len(str2)
    res = 0
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            while i < m and j < n and str1[i] == str2[j]:
                i += 1
                j += 1
                res += 1
    return res

暴力法是最基本的方式，它的時間複雜度是O(mn)，效率不高，因此多數情況下不使用。

2. 動態規劃

def LSC2(str1, str2):
    m, n = len(str1), len(str2)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    res = 0
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if str1[i - 1] == str2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                res = max(res, dp[i][j])
            else:
                dp[i][j] = 0
    return res

動態規劃是目前使用最廣泛的方式，它通過記憶化處理，每次計算都將上一次已經計算的結果保存下來，提高計算效率。時間複雜度為O(mn)。

3. 優化動態規劃

def LSC3(str1, str2):
    m, n = len(str1), len(str2)
    dp = [0] * (n + 1)
    res = 0
    for i in range(1, m + 1):
        pre = 0
        for j in range(1, n + 1):
            cur = dp[j]
            if str1[i - 1] == str2[j - 1]:
                dp[j] = pre + 1
                res = max(res, dp[j])
            else:
                dp[j] = 0
            pre = cur
    return res

優化動態規劃是在動態規劃的基礎上改進，將二維矩陣變為一維數組，降低空間複雜度。時間複雜度仍為O(mn)。

三、應用場景

公共子序列的應用非常廣泛，如下是其中的一些場景：

1. 編輯距離

公共子序列可以用來計算兩個字符串之間的編輯距離。編輯距離是指兩個字符串間，由一個轉變為另一個所需的最少編輯次數，編輯有三種類型：插入、刪除、替換。

2. 文件比較

公共子序列可以用來比較兩個文件的差異，例如在源代碼版本管理中，對比兩個版本的代碼差異。

3. 模式匹配

公共子序列可以用來進行模式匹配，例如在DNA序列中查找特定的片段。

4. 數據壓縮

公共子序列可以用來進行數據壓縮，例如在壓縮圖像時，相似的像素可以用一個公共子序列來表示，從而減小數據量。

總結

公共子序列是一種在計算機科學中非常重要的概念，它被廣泛應用於多個領域。常用的求解公共子序列的算法有暴力法、動態規劃以及優化動態規劃，其中動態規劃是目前應用最廣泛的方法。