Python線性代數求解函數簡介：np.linalg.lstsq

一、np.linalg.lstsq是什麼

np.linalg.lstsq是NumPy中的線性代數函數，它被用於解決矩陣方程，可在最小二乘意義上重建一組觀察數據。

具體來說，np.linalg.lstsq的作用是，求解一個形如Ax = b的線性系統，其中A為一個m×n的線性矩陣，b為一個包含m個獨立變量的向量，x為一個包含n個未知變量的向量，通過求解x的值，滿足方程組。同時，如果方程組沒有精確的解，它可以通過最小二乘調整返回最優解。

二、np.linalg.lstsq的輸入和輸出

輸入：

numpy.linalg.lstsq(a, b, rcond='warn')

輸出為4個值：

x: 係數向量
residuals: 殘差
rank: 矩陣A的秩
s: 奇異值

三、示例

1、求解線性方程組

通過一個簡單的例子來說明如何使用np.linalg.lstsq函數求解線性方程組。

import numpy as np

# 創建4x3的係數矩陣A和4x1的矩陣b
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10], [13, 14, 15]])
b = np.array([[1], [2], [3], [4]])

# 求解方程組
x, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)

print("係數向量為：\n", x)
print("殘差為：\n", residuals)
print("矩陣A的秩為：\n", rank)
print("奇異值為：\n", s)

運行結果如下：

係數向量為：
 [[-0.06896552]
 [-0.34482759]
 [ 0.54597701]]
殘差為：
 [6.25171072]
矩陣A的秩為：
 3
奇異值為：
 [2.13261383e+01 1.65604864e+00 3.83414488e-16]

我們可以看到，通過np.linalg.lstsq可以很容易地求出線性方程組的係數向量、殘差、矩陣A的秩和奇異值。

2、使用最小二乘逼近函數擬合數據

下面我們來看看如何使用np.linalg.lstsq函數來擬合一組離散數據，以實現最小二乘逼近的效果。

首先，我們通過numpy生成一組離散數據，這裡我們使用x軸坐標在[0, 1]範圍內的50個點，對應y軸坐標通過sin函數計算得出。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成離散數據
x = np.linspace(0, 1, 50)
y = np.sin(2 * np.pi * x)

# 打印離散數據的圖像
plt.plot(x, y, 'o', label='Discrete data')
plt.legend()
plt.show()

運行結果如下：


得到離散數據後，我們通過np.linalg.lstsq函數進行最小二乘逼近的擬合。

# 將x轉換成3x50矩陣，並填充一列1作為截距項
X = np.vstack([x, np.ones(len(x))]).T

# 擬合數據
coeff, residuals, _, _ = np.linalg.lstsq(X, y)

# 打印擬合後的數據圖像
plt.plot(x, y, 'o', label='Discrete data')
plt.plot(x, coeff[0] * x + coeff[1], '-r', label='Fitted line')
plt.legend()
plt.show()

運行結果如下：


我們可以看到，通過np.linalg.lstsq函數的最小二乘逼近擬合，我們得到了一條紅色的擬合直線，能夠很好地逼近離散數據的變化趨勢。

四、總結

np.linalg.lstsq是NumPy中的線性代數函數，被用於解決矩陣方程，可以在最小二乘意義上重建一組觀察數據。它的輸入為一個m×n的線性矩陣A和一個包含m個獨立變量的向量b，輸出為一個包含n個未知變量的向量x、殘差residuals、矩陣A的秩rank和奇異值s。通過上述的示例可以看出，np.linalg.lstsq函數非常方便易用，可以很容易地求解線性方程組，同時還可以用於最小二乘逼近等應用場景。