IEEE 754浮點數標準詳解

一、基本概念

IEEE 754是由IEEE（電氣和電子工程師學會）制定的二進制浮點數算術標準，它定義了雙精度（double）、單精度（float）和擴展精度（extended）等多種浮點數格式，並規定了數值的編碼方式、最小規格值、舍入和異常處理等操作。

在計算機中，浮點數常用於表示非整數的實數（如π和根號2），由於實數集合無限大，因此需要尋求一種規律性的編碼方式，IEEE 754浮點數標準就是實現這一目的的標準。

二、浮點數表示

IEEE 754浮點數使用一位符號位、多位指數位和多位尾數位來表示一個實數，它的尾數是一個小數，其值的大小可以在不同的位數上進行改變。例如，單精度浮點數的符號位佔1位，指數位佔8位，尾數位佔23位。

    
        //單精度浮點數的定義
        typedef union {
            float f;
            struct {
                unsigned int mantissa : 23;
                unsigned int exponent : 8;
                unsigned int sign : 1;
            } parts;
        } float_cast;
    

在上述代碼中，符號位sign佔用了最高位（最左邊），指數位exponent佔用了中間8位，尾數位mantissa佔用了最後23位。由於exponent佔用8位，其最大值為2^8-1=255，因此指數範圍為-126~127（實際指數還需減去127）。

三、舍入規則

在IEEE 754浮點數中，舍入有幾種不同的規則，包括向最近的偶數舍入、向0取整、向正無窮方向舍入和向負無窮方向舍入。容易想象，不同的舍入規則對於某些值而言，得到的結果會有所不同。

以單精度浮點數為例，下面的代碼演示了四種不同的舍入規則的實現：

    
        //單精度浮點數的舍入方法
        float round_to_nearest_even(float x) {
            float y = round(x);
            if (fabs(x - y) == 0.5) {
                y = 2.0 * round(x / 2.0);
            }
            return y;
        }
        
        float round_toward_zero(float x) {
            return (x > 0.0) ? floor(x) : ceil(x);
        }
        
        float round_up(float x) {
            return ceil(x);
        }
        
        float round_down(float x) {
            return floor(x);
        }
    

四、溢出和下溢

當一個數字超出了浮點數所能表示的範圍時，就會發生溢出，它會被舍入為正無窮大或負無窮大。相反，當一個數字太小，無法被正確地表示時，就會發生下溢，它將被舍入為0。

在IEEE 754浮點數中，規定當指數大於最大可表示值時，為正無窮大，當指數小於最小可表示值時，為0，這就是浮點數溢出和下溢的表現。例如，對於單精度浮點數而言，最大值為3.4e38，最小值為1.2e-38。

五、異常處理

在計算機中，存在一些特殊情況，例如除以0、無限大加上無限小等，這些情況稱為異常或非數值（NaN）。IEEE 754浮點數標準規定了這些情況應該如何處理。

對於除以0，IEEE 754規定其結果應該是正無窮大或負無窮大，具體是哪一個由符號位sign指定；對於0除以0，應該得到未定義的結果（NaN）；對於無限大減無限大，應該得到未定義的結果（NaN）；對於不確定式（0/0、無限大/無限大或NaN/任何數值）的計算結果都是NaN。

    
        //單精度浮點數的異常處理
        float handle_exception(float x) {
            if (x == 1.0 / 0.0) {
                return 1.0;
            } else if (x == -1.0 / 0.0) {
                return -1.0;
            } else if (x != x) {
                return 0.0;
            } else {
                return x;
            }
        }
    

六、總結

IEEE 754浮點數標準提供了一種標準的方式來表示和處理浮點數，對於計算機科學領域而言非常重要。在編寫計算機程序時，需要了解這些標準，才能保證程序的正確性和可靠性。