fmincon——MATLAB中的函數

一、概述

fmincon是MATLAB中的一個優化函數，它的作用是在約束條件下求解無約束或有約束的非線性優化問題。它使用了基於內點法的算法來實現對優化問題的求解。

fmincon的定義為：[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

二、函數參數

fmincon的參數較為複雜，以下是各參數的解釋：

fun：定義了優化目標函數，可以接受一個參數x，並返回一個標量值f。即，f = fun(x)。
x0：定義了目標函數的初始點，x0可以是向量或矩陣。如果fun定義了一個n維目標函數，x0可以是一個n維向量，如果fun定義了一個n維目標函數的向量，x0可以是一個m×n的矩陣，其中每一行代表一個向量。
A：定義了不等式約束矩陣，是一個m×n的矩陣，其中每一行代表一個約束條件。約束條件的矩陣表示為：A*x≤b。
b：定義了不等式約束的值，是一個m維向量。約束條件的矩陣表示為：A*x≤b。
Aeq：定義了等式約束矩陣，是一個p×n的矩陣，其中每一行代表一個等式約束條件。約束條件的矩陣表示為：Aeq*x=beq。
beq：定義了等式約束的值，是一個p維向量。約束條件的矩陣表示為：Aeq*x=beq。
lb：定義了x的下界。lb可以是一個n維向量或一個標量，其中標量表示針對所有的x。
ub：定義了x的上界。ub可以是一個n維向量或一個標量，其中標量表示針對所有的x。
nonlcon：定義了一個非線性約束函數，它可以使用約束向量。即，c(x)≤0表示非線性小於等於約束，c(x)>=0表示非線性大於等於約束，c(x)=0表示非線性等於約束。
options：定義了優化時的選項參數。

三、使用示例

1. 無約束優化

    function y=fmincon_nlb_demo()
    y = fmincon(@fun,[-0.5,1.0],[],[],[],[],[],[],@nonlcon);
    function [fun_value,grad] = fun(x)
      fun_value = x(1)^4-2*x(1)^2*x(2)+x(1)^2+x(1)+x(2)^2-2*x(1)+4;
      grad = [4*x(1)^3-4*x(1)*x(2)+2*x(1)+1;-2*x(1)^2+2*x(2)];
    end
    function [cineq,ceq,gcineq,gceq]=nonlcon(x)
      cineq = [2*x(2)-x(1)^2-1.0;3-x(1)];
      ceq = [];
      if nargout > 2
        gcineq = [-2*x(1),2; -1,0];
        gceq = [];
      end
    end
end

上面的例子演示了如何使用fmincon函數實現一個無約束優化問題。在此例子中，定義了一個目標函數fun(x)，而它的梯度在約束函數nonlcon（x）中被設置為一個空矩陣。通過調用fmincon函數，可以得到產生最小值的向量作為結果。

2. 有約束優化

   function y=fmincon_lb_demo()
    A = [];
    b = [];
    Aeq = [];
    beq = [];
    lb = [-1;-1];
    ub = [1;1];
    y = fmincon(@fun,[-0.5,1.0],A,b,Aeq,beq,lb,ub,@nonlcon);
    function [fun_value,grad] = fun(x)
      fun_value = x(1)^4-2*x(1)^2*x(2)+x(1)^2+x(1)+x(2)^2-2*x(1)+4;
      grad = [4*x(1)^3-4*x(1)*x(2)+2*x(1)+1;-2*x(1)^2+2*x(2)];
    end
    function [cineq,ceq,gcineq,gceq]=nonlcon(x)
      cineq = [2*x(2)-x(1)^2-1.0;3-x(1)];
      ceq = [];
      if nargout > 2
        gcineq = [-2*x(1),2; -1,0];
        gceq = [];
      end
    end
end

上面的例子演示了如何使用fmincon函數實現一個帶約束的優化問題。在此例子中，設置了不等式約束矩陣A和向量b以及上下界lb和ub。通過調用fmincon函數，可以得到產生最小值的向量作為結果。

四、方法選擇

fmincon提供了不同的方法來進行優化，這些方法可以通過options參數來設置。以下是fmincon中可用優化方法的列表。

active-set：針對有線性似的約束，使用基於我們稱之為Active Set的方法。它是適用於中等規模問題的一種方法。
interior-point：使用基於內點法的方法，它能夠求解大規模的非線性優化問題。
sqp：使用Sequential Quadratic Programming（SQP）方法，該方法特別適用於帶非線性約束的優化問題。

為了選擇最適合您問題的方法，請首先嘗試使用默認方法。如果默認方法不起作用，或者您需要更快的方法，您可以考慮使用其他的方法。請注意，除了默認方法之外，其他方法可能需要更多的內存或更長的計算時間。以下是選擇方法的代碼示例：

    options=optimset('Algorithm','active-set');
    [x,fval,exitflag,output]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options);

五、輸出參數

fmincon的輸出包含了最優解、最優值、退出標誌、迭代次數、迭代輸出、拉格朗日乘子和目標函數的梯度和黑塞矩陣（一般情況下，黑塞矩陣不能直接使用）。

x：代表最優解向量
fval：代表目標函數的最小值
exitflag：代表終止標誌，如果它為正值，則表示找到了滿足約束條件的最小值，值越接近0代表越卡在邊界上，如果小於0則表明沒有找到解。
output：是一個結構，包含了一些額外的輸出參數
lambda：是一個結構，在最優解的位置處計算一個較低層次的函數的梯度。每個輸出都是一個向量或是矩陣。
grad：代表目標函數的梯度
hessian：代表Hessian矩陣。它是目標函數二階導數的導數，因此只有在目標函數是二次函數時才能使用。

六、總結

fmincon是MATLAB中一個非常重要的函數，它可以實現各種類型的優化問題的求解，包括無約束和帶約束優化問題。使用fmincon可以快速且可靠地求解一些複雜的最優化問題。熟練掌握fmincon的使用方法，可以提高工程開發效率。

原創文章，作者：GIDZ，如若轉載，請註明出處：https://www.506064.com/zh-hant/n/148302.html