Gibbs採樣：從慢收斂到快速迭代

一、Gibbs採樣收斂慢

Gibbs採樣是一種Markov Chain Monte Carlo (MCMC) 模擬方法，可在聯合分布p(X) 難以抽樣時，利用條件分布進行隨機抽樣。Gibbs採樣具有簡單和通用的特點，不需要研究概率分布的具體形式，常被應用於概率模型推斷。

然而，Gibbs採樣由於需要迭代多次，因此可以出現收斂速度慢、易陷入局部最優等缺點。對於較複雜的問題，Gibbs採樣的迭代次數可能會非常大，導致採樣後的高維分布不可靠，影響推斷結果。

在實際應用中，為了提高Gibbs採樣的收斂速度，可以從以下幾個方面進行優化：

1、初始化：合適的初始狀態對收斂速度影響較大，可以針對特定模型進行初始化。

2、輔助採樣：針對模型中某維度較難採樣的問題，可以使用其他採樣方法輔助採樣。

3、參數優化：對於不同的模型，可以從不同的角度去優化參數，以獲得更好的採樣效果。

二、Gibbs採樣Python

Gibbs採樣在Python中可以使用numpy、scipy等庫進行實現。以下是一個簡單的Gibbs採樣的Python代碼示例：

import numpy as np

# 定義聯合分布函數（二維高斯分布）
def p(x, y):
    return np.exp(-(x**2 + y**2) / 2) / (2 * np.pi)

# 初始化
x = 0
y = 0
T = 10000

# 採樣
samples = np.zeros((T, 2))
for i in range(T):
    x = np.random.normal(y, 1)
    y = np.random.normal(x, 1)
    samples[i,:] = [x, y]
    
# 繪圖
import matplotlib.pyplot as plt
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(samples[:,0], samples[:, 1], s=10, alpha=0.5)
plt.show()

以上代碼中定義了一個二維高斯分布作為聯合分布函數，並使用numpy隨機生成x和y的初始值，進行10000次迭代，最後繪製採樣結果圖。

三、Gibbs採樣LDA

Gibbs採樣在LDA（Latent Dirichlet Allocation）模型中得到了廣泛應用。LDA是一種文本分析方法，通過將每個文檔表示為多個主題的集合，從而將文檔聚類。而Gibbs採樣能夠通過主題間的轉移，找到最合適的主題分布。

以下是LDA模型中Gibbs採樣的Python代碼示例：

import numpy as np

# 初始值
W = ...  # 單詞ID
Z = ...  # 主題ID
K = ...  # 主題數量
V = ...  # 單詞總數
alpha = ...  # 超參數
beta = ...  # 超參數
n_wk = np.zeros((V, K)) + beta  # 單詞w被分配到k主題的次數
n_dk = np.zeros((D, K)) + alpha  # 文檔d被分配到k主題的次數
n_k = np.zeros(K) + V * beta  # 每個主題被分配到的總次數

# Gibbs採樣函數
def gibbs_sampling(W, Z, n_wk, n_dk, n_k):
    for i in range(len(W)):
        w = W[i]
        k = Z[i]
        n_wk[w, k] -= 1
        n_dk[d, k] -= 1
        n_k[k] -= 1
        p = (n_wk[w,:] + beta) * (n_dk[d,:] + alpha) / (n_k + V * beta)
        p /= np.sum(p)
        k = np.random.choice(K, 1, p=p)[0]
        Z[i] = k
        n_wk[w, k] += 1
        n_dk[d, k] += 1
        n_k[k] += 1
    return Z, n_wk, n_dk, n_k

# 採樣
for i in range(T):
    Z, n_wk, n_dk, n_k = gibbs_sampling(W, Z, n_wk, n_dk, n_k)

以上代碼中，W代表文檔中的單詞，Z代表單詞的主題，K為主題數量，V為詞彙總數，alpha和beta為超參數，gibbs_sampling為Gibbs採樣函數，用於對單個單詞進行採樣。使用採樣函數對整個文檔進行採樣，即可得到最終的主題分布和單詞分布結果。

四、Gibbs採樣器

Gibbs採樣器是一種用於生成符合局部高斯分布的隨機數的算法。Gibbs採樣器特別適合處理有大量相互關聯的參數的問題。

以下是Python中實現Gibbs採樣器的示例代碼：

# 定義概率分布函數
def p(x, y, z):
    return np.exp(-(x**2 + y**2 + z**2) / 2)

# 初始化
x = 0
y = 0
z = 0
T = 10000

# 採樣
samples = np.zeros((T, 3))
for i in range(T):
    x = np.random.normal(y, 1)
    y = np.random.normal(z, 1)
    z = np.random.normal(x, 1)
    samples[i,:] = [x, y, z]
    
# 繪圖
import matplotlib.pyplot as plt
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.scatter(samples[:,0], samples[:,1], samples[:,2], alpha=0.5)
plt.show()

以上代碼中定義了一個三維高斯分布作為概率分布函數，並進行10000次迭代，最後繪製出採樣結果圖。

五、Gibbs採樣平穩分布

Gibbs採樣可以使用平穩分布法來進行收斂性的判斷。平穩分布是指隨機過程的狀態在長期穩定的概率分布，即大量採樣後分布不再變化。一種方法是通過觀察樣本序列的時間平均值是否收斂，以判斷Gibbs採樣是否已經收斂。

以下是Python中基於平穩分布法的Gibbs採樣示例代碼：

# 定義聯合分布函數（二維高斯分布）
def p(x, y):
    return np.exp(-(x**2 + y**2) / 2) / (2 * np.pi)

# 初始化
x = 0
y = 0
T = 1000000

# 採樣
samples = np.zeros((T, 2))
for i in range(T):
    x = np.random.normal(y, 1)
    y = np.random.normal(x, 1)
    samples[i,:] = [x, y]

# 平穩分布法
N = 1000
interval = 100
means = []
for i in range(N):
    s = np.mean(samples[i*interval:(i+1)*interval, :], axis=0)
    means.append(s)
    
means = np.array(means)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(means[:,0], means[:, 1], s=10, alpha=0.5)
plt.show()

以上代碼中，通過計算不同採樣區間的平均值，獲得採樣結果的時間平均分布，並繪製出結果圖來觀察該時間平均分布是否已經趨於穩定，即是否已經收斂展現。上圖中，就是從二維高斯分布中採樣1000000次，繪製的時間平均分布結果。

六、Gibbs採樣算法

Gibbs採樣算法是根據條件分布進行的一種隨機採樣方法。對於樣本x，Gibbs採樣是基於p(x)分布的條件分布p(xi|x-j)，來進行單個維度參數的採樣。它通過反覆對每個維度進行條件概率採樣，使得最終獲得的樣本符合聯合分布p(x)。以下是Gibbs採樣的算法流程：

1、初始化樣本x（任意值）

2、根據條件概率p(xi|x-j)，對第i維度進行採樣，得到新的樣本x’

3、重複第2步，對每個維度進行採樣，得到新樣本x’

4、繼續重複第2、3步，直到採樣結果收斂

七、Gibbs採樣中的迭代函數

Gibbs採樣的迭代函數需要根據條件概率來進行單維度採樣。以多維高斯分布為例，與其配對的條件概率分布為正態分布。以下是多維高斯分布中Gibbs採樣的迭代函數：

import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal

# 定義目標分布函數
mean = [0, 0]
cov = [[1, 0], [0, 1]]
rv = multivariate_normal(mean, cov)

# 初始化樣本
x0 = [0, 0]

# 定義條件概率分布函數
def cond(x, j):
    mean_new = mean[j] + x[(j+1)%2]
    cov_new = cov[j][j]
    return multivariate_normal.rvs(mean=mean_new, cov=cov_new, size=1)[0]

# Gibbs採樣
def gibbs_sampling(x0, n=1000):
    x = np.zeros((n, len(x0)))
    x[0, :] = x0
    for i in range(1, n):
        for j in range(len(x0)):
            x[i, j] = cond(x[i-1, :], j)
    return x

# 採樣
samples = gibbs_sampling(x0)

# 繪圖
import matplotlib.pyplot as plt
fig, ax = plt.subplots()
X, Y = np.meshgrid(np.linspace(-3, 3, 100), np.linspace(-3, 3, 100))
Z = rv.pdf(np.dstack((X,Y)))
ax.contour(X, Y, Z)
ax.scatter(samples[:,0], samples[:, 1], s=10, alpha=0.5)
plt.show()

以上代碼中，rv為多維高斯分布函數，cond為對角矩陣分布函數，gibbs_sampling為Gibbs採樣函數，用於對樣本點進行採樣。最終的採樣結果繪製在圖像中，即可直觀地看到採樣過程。

八、Gibbs採樣通俗理解

Gibbs採樣的一種通俗理解是，對於一個複雜的聯合分布，我們無法直接抽樣，但可以通過變量間的條件概率進行逐一抽取。因此，Gibbs採樣是一種通過變量間的條件概率，逐一抽取變量的方法