FFTPython：Python實現快速傅里葉變換

一、什麼是FFTPython？

FFTPython是Python中快速傅里葉變換（FFT）的一種實現方式，通過使用科學計算庫NumPy實現FFT算法加速。FFT算法是一種計算離散傅里葉變換（DFT）的快速算法，DFT是在時域上的信號經過傅里葉變換之後，在頻域上的表示。因此FFT常被用來分析信號的頻域特徵，比如信號的頻率、功率等。

二、FFTPython的基本用法

使用FFTPython實現FFT算法，需要導入NumPy庫。以下是快速傅里葉變換的基本使用方法：

import numpy as np
from scipy.fft import fft

# 序列長度為N
N = 64

# 構造輸入序列 x[n]，長度為N
x = np.sin(np.linspace(0, 2*np.pi, N))

# 調用 fft() 進行快速傅里葉變換
X = fft(x)

# 輸出結果
for i in range(N):
    print('X[{}] = {} + {}j'.format(i, X[i].real, X[i].imag))

通過上述代碼，我們可以將一個長度為N的由一個正弦波構成的輸入序列x[n]進行FFT變換，輸出序列X[k]。

三、FFTPython的應用

1、信號的頻譜分析

通過FFT算法，可以將時域上的序列轉換到頻域上，得到其頻譜分布。因此，FFT常常被用來分析信號的頻譜特徵。以下是一個使用FFTPython實現頻譜分析的例子：

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal
from scipy.fft import fft

# 構造三角波信號，頻率為2Hz
sampling_freq = 100  # 採樣頻率
t = np.linspace(0, 2, 2*sampling_freq, endpoint=False)  # 時間軸
sig = np.abs(signal.sawtooth(2 * np.pi * t, 0.5))

# 對信號進行FFT變換
sig_fft = fft(sig)

# 計算信號的頻譜
power = np.abs(sig_fft)/len(sig)

# 構造頻率軸
freq = np.arange(0, len(sig))*sampling_freq/len(sig)

# 可視化結果
plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.plot(freq, power)
plt.xlabel('頻率(Hz)')
plt.ylabel('功率')
plt.title('頻譜分析')
plt.show()

通過上述代碼，我們可以將信號進行FFT變換，得到其頻譜分布，並將結果可視化出來。

2、信號的濾波處理

通過FFT算法，我們還可以實現濾波處理。對於某些不需要的頻率分量，可以通過FFT變換後將其濾波掉。以下是一個使用FFTPython實現濾波處理的例子：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fft import fft

# 構造輸入信號，包含一個頻率為2Hz的正弦波和一個頻率為25Hz的噪聲
freq1 = 2
freq2 = 25
sampling_freq = 200
time = np.arange(0, 2, 1/sampling_freq)
sig = np.sin(2*np.pi*freq1*time) + 0.5*np.sin(2*np.pi*freq2*time)

# 對信號進行FFT變換
sig_fft = fft(sig)

# 構造濾波器
filt = np.ones_like(sig_fft)
filt[50:150] = 0  # 去掉頻率在50-150之間的分量

# 進行濾波處理
sig_filt = np.real(np.fft.ifft(filt*sig_fft))

# 可視化結果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(time, sig, label='原始信號')
plt.plot(time, sig_filt, label='濾波後信號')
plt.legend()
plt.show()

通過上述代碼，我們對含有噪聲的輸入信號進行FFT變換後，構造一個濾波器，將不需要的頻率分量過濾掉，最終得到較為乾淨的信號。

三、FFTPython的優化

1、使用傅里葉變換的優化方法

使用FFT算法進行信號處理，需要對信號進行填充，以達到2的冪次方的長度，才能進行FFT變換。這樣可能會導致數據填充量過多，造成計算資源的浪費。

傅里葉變換具有可逆性，即如果一個信號的FFT結果已知，那麼可以利用逆傅里葉變換（IFFT）得到原信號。因此，對於長度為M的信號，如果將其拆分為兩個長度為M/2的信號，並對其分別進行FFT操作，得到兩個長度為M/2的FFT結果，然後使用傅里葉變換的線性性質，將兩個長度為M/2的FFT結果組合起來，就可以得到長度為M的FFT結果。

以下是一個使用傅里葉變換的優化方法：

import numpy as np
from scipy.fft import fft

# 樸素 FFT 算法
def fft_naive(x):
    n = len(x)
    if n == 1:
        return x
    wn = np.exp(-2j * np.pi / n)
    w = 1
    xe = fft_naive(x[::2])
    xo = fft_naive(x[1::2])
    res = [0]*n
    for i in range(n//2):
        res[i] = xe[i] + w*xo[i]
        res[i+n//2] = xe[i] - w*xo[i]
        w *= wn
    return res

# 使用傅里葉變換的優化算法
def fft_optimized(x):
    n = len(x)
    if n == 1:
        return x
    xe = fft_naive(x[::2])
    xo = fft_naive(x[1::2])
    w = np.exp(-2j * np.pi / n)
    wp = np.array([w ** k for k in range(n//2)])
    res = np.concatenate([xe + wp * xo, xe - wp * xo])
    return res

# 構造隨機輸入序列，長度為M
M = 16
x = np.random.random(M)

# 調用樸素 FFT 算法和使用傅里葉變換的優化算法
naive_res = fft_naive(x)
optimized_res = fft_optimized(x)

# 結果比較
print('樸素 FFT 算法結果：', naive_res)
print('使用傅里葉變換的優化算法結果：', optimized_res)
print('兩種算法結果是否相同：', np.allclose(naive_res, optimized_res))

通過上述代碼，我們實現了一個使用傅里葉變換的優化算法，減少了數據的填充量，提高了計算效率。

2、使用並行計算的優化方法

在實現FFT算法時，可以通過並行計算的方式來提升計算速度。NumPy中的FFT算法支持多線程計算，在使用FFT算法時，可以通過設置NumPy的線程數來實現多線程計算。以下是一個使用並行計算的優化方法：

import numpy as np
from scipy.fft import fft

# 將計算過程封裝為一個函數
def calc_fft(x):
    np.fft.set_num_threads(8)  # 設置線程數為8
    X = np.fft.fft(x)
    np.fft.set_num_threads(1)  # 恢複線程數為1
    return X

# 構造隨機輸入序列，長度為N
N = 2 ** 14
x = np.random.random(N)

# 調用並行計算函數和順序計算函數
parallel_X = calc_fft(x)
sequential_X = fft(x)

# 結果比較
print('並行計算結果：', parallel_X)
print('順序計算結果：', sequential_X)
print('兩種計算方式結果是否相同：', np.allclose(parallel_X, sequential_X))

通過上述代碼，我們實現了一個使用多線程計算的優化方式，提高了FFT算法的計算效率。