利用Python math庫中的sqrt實現快速計算平方根

一、什麼是平方根

平方根是數學中一個非常基礎也非常重要的概念，是指一個數的平方根等於這個數，例如，2的平方根是約等於1.414的數，寫作√2。

在實際計算過程中，計算平方根是一個非常常見的需求，例如涉及到圓的半徑、直角三角形斜邊長度等計算都需要用到平方根。在Python中，可以藉助math庫中的sqrt函數來快速計算平方根。

二、Python math庫中的sqrt函數

在Python中，math庫是一個非常基礎也非常常用的數學庫，其中包含了大量的基本數學函數，包括求平方根的函數sqrt。

import math
x = 16
result = math.sqrt(x)
print(result)

運行結果為4，即16的平方根。

sqrt函數的參數可以是任意有效數值類型，包括int、float等，如果參數為負數，則會返回一個NaN（Not a Number）。

三、快速計算平方根的方法

方法一：牛頓迭代法

牛頓迭代法是一種非常常見也非常高效率的求解數值函數零點的方法，其中包括快速計算平方根。牛頓迭代法的計算公式如下：

x_n+1 = x_n – f(x_n) / f'(x_n)

其中，x_n為當前迭代的數值，f(x_n)為函數在x_n處的函數值，f'(x_n)為函數在x_n處的導數值。

對於求解平方根來說，函數為f(x) = x² – a，其中a為待求解的數。將x代入該方程中，即可快速求解平方根。

牛頓迭代法可以進行多輪迭代，每一次迭代都會使結果更加精確。

def sqrt_newton(num):
    if num < 0:
        return float('nan')
    elif num == 0:
        return 0
    x = num
    while True:
        y = (x + num / x) / 2
        if abs(y - x) < 1e-6:
            return y
        x = y

方法二：二分法

二分法是一種簡單直觀、易於實現的求解數值函數零點的方法，也可以應用於快速計算平方根。二分法的計算思路為逐漸縮小待求解數值所在的區間，最終得到一個非常接近精確解的區間。對於求解平方根來說，可以從0到a枚舉所有數值，以2分之間的數值為新的區間，並根據中間值的平方和a進行比較，逐漸縮小區間的範圍，直到找到最接近精確解的數值。

def sqrt_binary(num):
    if num < 0:
        return float('nan')
    elif num == 0:
        return 0
    left, right = 0, num
    while left <= right:
        mid = (left + right) / 2
        if abs(mid ** 2 - num) < 1e-6:
            return mid
        elif mid ** 2 < num:
            left = mid
        else:
            right = mid

四、方法比較

兩種方法各有優劣，牛頓迭代法的收斂速度非常快，通常只需要進行幾輪迭代即可得到非常精確的結果，但需要對函數進行求導，可能需要進行複雜的手動計算。

而二分法則操作相對簡單，無需進行求導，但迭代次數相對較多，通常需要進行多次循環才能得到較精確的結果。

因此，在實際使用中應該根據不同的需求和數值情況選擇不同的方法，以便得到最優的計算效率和計算精度。