辛普森積分詳解

一、辛普森積分公式

辛普森積分公式是一種數值積分方法，用來計算在一個區間內定義的函數的定積分。其公式如下：

def simpson(f, a, b):
    h = (b - a) / 2
    return h / 3 * (f(a) + 4 * f((a + b) / 2) + f(b))

其中f為積分函數，a和b分別為積分下限和上限。這個公式通過將積分區間分成若干個小區間，然後對每個小區間應用二次多項式進行逼近，從而得到積分的近似值。

二、辛普森規則積分

辛普森規則積分是指將辛普森積分公式應用於等距的小區間進行數值積分。具體來說，就是將積分區間[a, b]平均分成2n個小區間，然後將每相鄰兩個小區間視為一個整體，應用辛普森積分公式計算積分值。其實現代碼如下：

def simpson_rule(f, a, b, n):
    h = (b - a) / (2 * n)
    ans = 0.0
    for k in range(n):
        ans += simpson(lambda x: f(a + (2 * k + 1) * h), 0, h)
    return ans

其中n表示小區間的數量，h表示每個小區間的長度。

三、辛普森積分法

辛普森積分法是一種單步迭代的數值積分方法，它利用了辛普森積分公式的特性，將積分區間分成許多小區間，在每個小區間上近似估計積分值，進而得到積分的近似值。具體步驟如下：

Step 1：將積分區間[a, b]分成n個小區間，其中n是偶數。

Step 2：對於每一個小區間，應用辛普森積分公式計算其積分值，並將所有小區間的積分值相加得到整個區間的近似積分值。

其實現代碼如下：

def simpson_integrate(f, a, b, eps=1e-8):
    n = 2
    S = []
    S.append((b - a) * (f(a) + 4 * f((a + b) / 2) + f(b)) / 6)
    while True:
        n *= 2
        h = (b - a) / n
        x = a + h
        sum1 = 0
        for i in range(1, n, 2):
            sum1 += f(x + i * h)
        S.append(S[-1] / 2 + h * sum1 / 3)
        if abs(S[-1] - S[-2]) < eps:
            break
    return S[-1]

其中eps為收斂精度。

四、辛普森積分法溶出度

辛普森積分法溶出度是指辛普森積分法在每個小區間內的誤差。由於辛普森積分法是用二次多項式逼近每個小區間的積分函數，因此它的溶出度應該是三階的。換句話說，辛普森積分法使用時，誤差在每個小區間內是O(h^4)，其中h是小區間的長度。

五、辛普森積分幾階精度

辛普森積分是三階精度的，這意味着當使用辛普森積分法計算一個積分時，誤差是O(h^4)，其中h是小區間的長度。與此相比，梯形法和矩形法的誤差分別是O(h^2)和O(h^3)。

六、辛普森積分公式是什麼

辛普森積分公式是一種數值積分方法，用於計算在一個區間內定義的函數的定積分。它是一種二次數值積分方法，通過將積分區間分成若干個小區間，然後對每個小區間應用二次多項式進行逼近，從而得到積分的近似值。

七、辛普森積分法則

辛普森積分法則是指使用辛普森積分公式進行數值積分的規則。其步驟如下：

Step 1：將積分區間[a, b]平均分成n個小區間，其中n是偶數。

Step 2：對於每一個小區間，應用辛普森積分公式計算其積分值，並將所有小區間的積分值相加得到整個區間的近似積分值。

八、辛普森法則求積分

使用辛普森法則求積分的方法如下：

Step 1：將積分區間[a, b]平均分成n個小區間，其中n是偶數。

Step 2：對於每一個小區間，應用辛普森積分公式計算其積分值，並將所有小區間的積分值相加得到整個區間的近似積分值。

其實現代碼如下：

def integrate(f, a, b, n=100):
    x = np.linspace(a, b, n + 1)
    y = f(x)
    h = (b - a) / n
    I = h / 3 * (y[0] + 4 * np.sum(y[1:-1:2]) + 2 * np.sum(y[2:-2:2]) + y[-1])
    return I

九、辛普森積分法公式

辛普森積分法公式是二次數值積分方法的一種，可以用來計算在一個區間內定義的函數的定積分。其具體公式如下：

積分近似值 = h / 3 [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + … + 2f(x2n-2) + 4f(x2n-1) + f(x2n)]

其中f為積分函數，[x0, x2n]為積分區間的分割點，h為小區間的長度。

十、辛普森積分法例題

例題：計算f(x) = x^3在區間[1, 2]的定積分。

解題步驟如下：

Step 1：將積分區間[1, 2]平均分成2個小區間，其中h = (2 – 1) / 2 = 0.5。

Step 2：對每個小區間應用辛普森積分公式計算其積分值。

對於[1, 1.5]這個小區間，其積分值為：

h / 3 * [f(1) + 4f((1 + 1.5) / 2) + f(1.5)] = 0.5 / 3 * [1 + 4 * (1.25)^3 + (1.5)^3] = 1.234375

對於[1.5, 2]這個小區間，其積分值為：

h / 3 * [f(1.5) + 4f((1.5 + 2) / 2) + f(2)] = 0.5 / 3 * [(1.5)^3 + 4 * (1.75)^3 + 2^3] = 5.578125

Step 3：將所有小區間的積分值相加，得到整個區間的近似積分值。

1.234375 + 5.578125 = 6.8125

因此，f(x) = x^3在區間[1, 2]的定積分的近似值為6.8125。