探索Python中exp pi i的神秘世界

一、為什麼exp pi i被稱為最美的公式

exp pi i = -1，這是一個簡單的等式，也是一個神奇的等式。它將三個最重要的數學常數連接在了一起：自然對數的底數 e、圓周率 π、虛數單位 i。而更為神奇的是，這個等式不僅由三個著名的數學常數組成，而且這三個常數彼此之間還有一個如此簡單而優美的聯繫。

在Python中計算exp pi i，我們需要使用cmath庫來支持複數運算。

import cmath

result = cmath.exp(cmath.pi * cmath.sqrt(-1))
print(result)

二、使用exp pi i繪製正弦曲線

正弦曲線是高中數學中經常學習到的一個重要的函數圖像，而該函數被定義為：y = sin(x)。那麼，是否有一種方法可以從exp pi i來表達sin(x)呢？答案是肯定的。通過歐拉公式，我們可以在複平面上通過exp pi i來繪製正弦曲線。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 1000)
y = np.sin(x)
plt.plot(x, y, label='y=sin(x)')

z = cmath.exp(1j*x)
plt.plot(x, np.imag(z), label='imag(exp(ix))')

plt.legend()
plt.show()

三、解析複平面和歐拉公式

在前面的代碼中，我們提到了“複平面”和“歐拉公式”。那麼，什麼是複平面？什麼是歐拉公式？

複平面就是將複數作為坐標，在平面直角坐標系中繪製的圖形。實數軸對應於複平面的 x 軸，而虛數軸對應於複平面上的 y 軸，因此，複數 z = x + yj 可以表示為一個有序對 (x, y)。

歐拉公式則給出了一個如此優美的等式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)。它表明了複數 e^(ix) 在複平面上的幾何意義，即 e^(ix) 對應於以原點為圓心、半徑為 1、角度為 x 弧度的點。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

X, Y = np.meshgrid(np.linspace(-3, 3, 500), np.linspace(-3, 3, 500))
Z = np.exp(X + 1j*Y)

fig = plt.figure(figsize=(8,8))
plt.imshow(np.angle(Z), extent=[-3,3,-3,3], cmap='hsv')
plt.colorbar()
plt.title('Phase of e^(x+iy)')
plt.xlabel('Re(z)')
plt.ylabel('Im(z)')

plt.show()

四、將exp pi i應用於簡單物理問題的計算

exp pi i 還能夠應用於計算簡單物理問題，例如計算表達波函數的複數形式。以簡單的弦振動為例，在這種情況下，振動的形式為：y(x, t) = sin(kx – wt)，其中 w 表示角頻率，t 表示時間。則表達波函數的複數形式為： f(x, t) = e^(i(kx-wt))。這個公式表明了在橫向坐標方向為 k、時間為 t 的位置點上的波函數值，它在複平面上為 f(x, t) e^(i(kx-wt))，即圓心為 1，角度為 kx-wt 的點。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

T, X = np.meshgrid(np.linspace(-8, 8, 500), np.linspace(-8, 8, 500))
f = np.exp(1j*(X-T))

fig = plt.figure(figsize=(8,8))
plt.imshow(np.sqrt(np.real(f)*np.real(f) + np.imag(f)*np.imag(f)), extent=[-8,8,-8,8], cmap='hsv')
plt.colorbar()
plt.title('The magnitude of f(x, t) = exp(i(kx-wt))')
plt.xlabel('x (space)')
plt.ylabel('t (time)')

plt.show()