python中三重積分（python 三重積分）

本文目錄一覽：

• 1、怎樣計算三重積分？盡量通俗易懂。
• 2、三重積分的計算方法
• 3、在python中如何求定積分
• 4、三重積分的定義
• 5、三重積分的計算

怎樣計算三重積分？盡量通俗易懂。

其實,三重積分,就是把一重積分和二重積分的擴展 

三重積分及其計算 

一,三重積分的概念 

將二重積分定義中的積分區域推廣到空間區域,被積函數推廣到三元函數,就得到三重積分的定義 

其中 dv 稱為體積元,其它術語與二重積分相同

若極限存在,則稱函數可積 

若函數在閉區域上連續, 則一定可積 

由定義可知 

三重積分與二重積分有着完全相同的性質 

三重積分的物理背景 

以 f ( x, y, z ) 為體密度的空間物體的質量 

下面我們就藉助於三重積分的物理背景來討論其計算方法. 

二,在直角坐標系中的計算法 

如果我們用三族平面 x =常數,y =常數, z =常數對空間區域進行分割那末每個規則小區域都是長方體 

其體積為 

故在直角坐標系下的面積元為 

三重積分可寫成 

和二重積分類似,三重積分可化成三次積分進行計算 

具體可分為先單後重和先重後單 

三重積分的計算方法

適用於被積區域Ω不含圓形的區域，且要注意積分表達式的轉換和積分上下限的表示方法

⑴先一後二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。

①區域條件：對積分區域Ω無限制；

②函數條件：對f（x,y,z）無限制。

⑵先二後一法（截面法）：先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。

①區域條件：積分區域Ω為平面或其它曲面（不包括圓柱面、圓錐面、球面）所圍成；

②函數條件：f（x，y，）僅為一個變量的函數。 適用被積區域Ω的投影為圓時，依具體函數設定，如設x2+y2=a2,x=asinθ，y=acosθ

①區域條件：積分區域Ω為圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合；

②函數條件：f（x,y,z）為含有與x2+y2（或另兩種形式）相關的項。 適用於被積區域Ω包含球的一部分。

①區域條件：積分區域為球形或球形的一部分，錐面也可以；

②函數條件：f（x,y,z）含有與x2+y2+z2相關的項。

在python中如何求定積分

在python中求定積分的方法：1、導入計算積分的sympy包；2、輸入“x= symbols(“x”)”命令定義一個符號；3、定義要積分的函數為“A=integrate(函數，(變量，下限，上限))”即可求定積分。

準備python的運行環境

導入計算積分的模塊包from sympy import *

定義一個符號x = symbols(“x”)

定義要積分的函數

函數的定積分為A = integrate(函數，(變量，下限，上限))

函數的不定積分B=integrate(函數,變量)

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三重積分的定義

設三元函數z=f(x,y,z）定義在有界閉區域Ω上將區域Ω任意分成n個子域Δvi(i=123…，n）並以Δvi表示第i個子域的體積.在Δvi上任取一點（ξiηiζi）作和（n/i=1 Σ（ξiηiζi）Δvi）.如果當各個子域的直徑中的最大值λ趨於零時，此和式的極限存在，則稱此極限為函數f(x,y,z）在區域Ω上的三重積分，記為∫∫∫f(x,y,z)dv，即

Ω

∫∫∫f(x,y,z)dv=lim λ→0 （n/i=1 Σf（ξi，ηi，ζi）Δvi），其中dv叫做體積元素。

Ω ∫∫∫‥‥‥三重積分號

f(x,y,z）‥‥‥被積函數

f(x,y,z)dv‥‥‥被積表達式

dv‥‥‥體積元

x,y,z‥‥‥積分變量

Ω‥‥‥積分區域

Σf（ξi，ηi，ζi）Δδi‥‥‥積分和

三重積分的計算

三重積分的計算，首先要轉化為“一重積分+二重積分”或“二重積分+一重積分”。

適用於被積區域Ω不含圓形的區域，且要注意積分表達式的轉換和積分上下限的表示方法：

先一後二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。

區域條件：對積分區域Ω無限制；

函數條件：對f（x,y,z）無限制。

先二後一法（截面法）：先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。

區域條件：積分區域Ω為平面或其它曲面（不包括圓柱面、圓錐面、球面）所圍成

函數條件：f（x，y）僅為一個變量的函數。

三重積分特點：

當然如果把其中的“二重積分”再轉化為“累次積分”代入，則三重積分就轉化為了“三次積分”，這個屬於二重積分化累次積分。

與二重積分類似，三重積分仍是密度函數在整個Ω內每一個點都累積一遍，且與累積的順序無關（按任意路徑累積）。當積分函數為1時，就是其密度分布均勻且為1，三維空間質量值就等於其體積值；當積分函數不為1時，說明密度分布不均勻。