预处理共轭梯度法

预处理共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代方法，相比直接求解，其具有更高的效率和更快的速度。本文将从几个方面对预处理共轭梯度法进行详细的阐述，并给出完整的代码示例。

一、预处理共轭梯度法的简介

预处理共轭梯度法是一种常用的线性方程组求解方法，其主要思想是利用预处理矩阵对原矩阵进行加速和优化，从而提高算法的求解速度。

预处理共轭梯度法是一种迭代算法，其迭代公式如下：

    def pcg(A, b, M, x0, max_it):
        r0 = b - A.dot(x0)
        z0 = M.dot(r0)
        p0 = z0
        x = x0
        for i in range(max_it):
            Ap = A.dot(p0)
            alpha = (r0.T.dot(z0))/(p0.T.dot(Ap))
            x = x + alpha*p0
            r = r0 - alpha*Ap
            z = M.dot(r)
            beta = (z.T.dot(r))/(z0.T.dot(r0))
            p = z + beta*p0
            r0 = r
            z0 = z
            p0 = p
        return x

其中A为系数矩阵，b为常数项，M为预处理矩阵，x0为初始向量，max_it为最大迭代次数。

二、预处理矩阵的选取

预处理矩阵的选取对算法的效率有着至关重要的影响。常用的预处理矩阵有以下几种类型：

对角预处理矩阵

对角预处理矩阵是指以系数矩阵的对角线元素为对角线元素的对角矩阵。这种预处理矩阵的选取比较简单，但是其加速效果并不是很明显，往往只适用于对角线元素比较大的线性方程组。

    D = np.diag(A)
    M = np.diag(1/D)

不完全Cholesky分解预处理矩阵

不完全Cholesky分解预处理矩阵是一种更加高效的预处理方法，其选取方式为对系数矩阵进行不完全Cholesky分解，然后再根据分解得到的矩阵构造出预处理矩阵。

    def ichol(A):
        n = A.shape[0]
        L = np.zeros(A.shape)
        for i in range(n):
            s = A[i, i]
            for k in range(i):
                s = s - L[i, k]**2
            L[i, i] = np.sqrt(s)
            for j in range(i+1, n):
                t = A[i, j]
                for k in range(i):
                    t = t - L[i, k]*L[j, k]
                L[j, i] = t/L[i, i]
        return L

    M = ichol(A)

三、收敛性和迭代次数

预处理共轭梯度法的收敛性和迭代次数与算法中系数矩阵的条件数和预处理矩阵的选取有关。一般来说，通过使用不同的预处理方法和选取不同的预处理矩阵，可以有效地减少算法的迭代次数。

对于一般的线性方程组，预处理共轭梯度法的迭代次数为O(√n*log(1/ε))，其中n为系数矩阵的维度，ε为所需的精度。

四、完整代码示例

    import numpy as np

    def pcg(A, b, M, x0, max_it):
        r0 = b - A.dot(x0)
        z0 = M.dot(r0)
        p0 = z0
        x = x0
        for i in range(max_it):
            Ap = A.dot(p0)
            alpha = (r0.T.dot(z0))/(p0.T.dot(Ap))
            x = x + alpha*p0
            r = r0 - alpha*Ap
            z = M.dot(r)
            beta = (z.T.dot(r))/(z0.T.dot(r0))
            p = z + beta*p0
            r0 = r
            z0 = z
            p0 = p
        return x

    def ichol(A):
        n = A.shape[0]
        L = np.zeros(A.shape)
        for i in range(n):
            s = A[i, i]
            for k in range(i):
                s = s - L[i, k]**2
            L[i, i] = np.sqrt(s)
            for j in range(i+1, n):
                t = A[i, j]
                for k in range(i):
                    t = t - L[i, k]*L[j, k]
                L[j, i] = t/L[i, i]
        return L

    A = np.array([[4, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [-1, 4, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0], [0, -1, 4, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0],
                  [-1, 0, 0, 4, -1, 0, -1, 0, 0, 0], [0, -1, 0, -1, 4, -1, 0, -1, 0, 0], [0, 0, -1, 0, -1, 4, 0, 0, -1, 0],
                  [0, 0, 0, -1, 0, 0, 4, -1, 0, -1], [0, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 4, -1, 0], [0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 4, -1],
                  [0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 4]])
    b = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
    x0 = np.zeros(len(b))
    M = ichol(A)
    max_it = 1000
    x = pcg(A, b, M, x0, max_it)