一、基本概念
Hungarian算法，即匈牙利算法，是一种求解二分图最大权完美匹配问题的有效方法。该算法由E. W. Dijkstra和C. T. Wong在1955年提出，并由H. W. Kuhn在1957年发表。它的时间复杂度为O(n^3)，是解决该问题时间复杂度最小的算法之一。
所谓二分图，就是指一个图中的结点可以被分为两个互不相交的子集S和T，而且所有的边都连接S和T中的结点。最大权完美匹配问题，即给定一个带权二分图，找出一个完美匹配集合，使得该匹配集合中所有边的权值之和最大。
二、算法流程
首先，我们需要将带权二分图表示为一个n * n的矩阵W，其中W(i, j)表示第i个结点和第j个结点之间的边的权值。
然后，我们需要执行以下步骤：
1、将W矩阵中每一行中的最小值减去该行中的所有元素，并将每一列中的最小值减去该列中的所有元素。这是为了保证在后续寻找增广路径时能够找到更小的权值。
void reduce(int n, vector<vector<int>>& W, vector<int>& h, vector<int>& v) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
h[i] = *min_element(W[i].begin(), W[i].end());
for (int j = 0; j < n; j++) {
W[i][j] -= h[i];
}
}
for (int j = 0; j < n; j++) {
v[j] = *min_element(W.begin(), W.end(),
[&](vector<int> a, vector<int> b) { return a[j] < b[j]; }
)[j];
for (int i = 0; i < n; i++) {
W[i][j] -= v[j];
}
}
}2、从未匹配的结点出发，寻找增广路径。增广路径是指一系列相邻的边，这些边交替地连接未匹配的结点和已匹配的结点，通过这些边可以将一个未匹配的结点与一个未匹配的结点相连接。如果找到了增广路径，则将该路径上的所有边都加入匹配集合中；否则执行第三步。
3、找出未匹配结点中的最小顶标d，并将每个未匹配结点的顶标值减去d，每个已匹配的结点的顶标值增加d。然后重新执行第2步。
bool findPath(int i, int n, vector<vector<int>>& W, vector<int>& match, vector<int>& vis, vector<int>& slack) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (W[i][j] == 0 && !vis[j]) {
vis[j] = true;
if (match[j] == -1 || findPath(match[j], n, W, match, vis, slack)) {
match[j] = i;
return true;
} else {
slack[j] = min(slack[j], h[i] + v[j] - W[i][j]);
}
}
}
return false;
}
void KM(int n, vector<vector<int>>& W, vector<int>& match) {
vector<int> h(n), v(n, 0), slack(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
match[i] = -1;
h[i] = *min_element(W[i].begin(), W[i].end());
for (int j = 0; j < n; j++) {
W[i][j] -= h[i];
v[j] = min(v[j], W[i][j]);
}
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
while (true) {
vector<int> vis(n, false);
slack.assign(n, INT_MAX);
if (findPath(i, n, W, match, vis, slack)) {
break;
}
int d = *min_element(slack.begin(), slack.end());
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (vis[j]) {
h[match[j]] -= d;
v[j] -= d;
} else {
slack[j] -= d;
}
}
}
}
}三、性能分析
Hungarian算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n是结点数。对于小规模的带权二分图，该算法能够在合理的时间内得到正确的结果。但是对于大规模的带权二分图，该算法的计算时间会变得十分长，因此需要使用更优秀的算法来求解。
四、应用场景
Hungarian算法主要应用于图像处理、资源分配和调度等领域。其中，在图像匹配方面，匈牙利算法可用于特征点的匹配和多目标跟踪；在资源分配和调度方面，匈牙利算法可用于任务调度、车辆调度和人员分配等问题。
原创文章，作者：KWPZZ，如若转载，请注明出处：https://www.506064.com/n/372165.html
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