Kruskal-Wallis检验及应用

一、基本概念

Kruskal-Wallis是一种用于非参数检验的统计方法，用于比较三个或三个以上独立组的中位数是否相等。这种方法可以被视为方差分析（ANOVA）的非参数等级替代方法。

使用Kruskal-Wallis的优点是它可以处理偏斜的数据分布和具有等间距单位测量水平的数据，同时不需要满足正态性和同方差性的要求。

在执行Kruskal-Wallis检验之前，必须要先进行一些假设：

1.独立性假设：每个组之间是相互独立的；

2.同分布假设：每个组的观测值是从同一种分布中获取的（虽然不需要是正态分布）；

3.同方差假设：每个组具有相同的方差。

二、检验步骤

以下是Kruskal-Wallis检验的基本步骤：

1.将所有观测值从小到大排序，得到一个有序数据集；

2.为每个观测值分配一个秩次（按其在有序数据集中出现的位置），若有相同的数值，则其秩位平均；

3.求出每个组的秩位和，用于计算检验统计量；

4.计算检验统计量，其公式为：

H = [(12 / (n(n+1))) * Σ(Rj - T/n)^2] - 3(n+1)

其中，n为总样本量，Rj为第j个组的秩和，T为总秩和。

5.根据所选的显著水平以及自由度，计算出临界值；

6.比较检验统计量和临界值，得出结论。

三、应用场景

以下是一些使用Kruskal-Wallis的常见场景：

1.医疗研究：对不同治疗方法的有效性进行比较；

2.市场研究：对消费者在不同价格下的购买偏好进行比较；

3.工程研究：比较不同生产工艺的质量结果；

4.生态学研究：比较不同生态系统下物种多样性的变化；

5.社会科学研究：比较不同社会群体的幸福感或生活满意度。

四、实例演示

以下是一个使用Python进行Kruskal-Wallis检验的实例：

import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 三个独立组的数据
group1 = np.array([3, 4, 5, 6, 7])
group2 = np.array([8, 9, 10, 11, 12])
group3 = np.array([13, 14, 15, 16, 17])

# 进行Kruskal-Wallis检验
H, p = stats.kruskal(group1, group2, group3)

# 显示检验结果
print("H 检验统计量 =", H)
print("p-值 =", p)
if p < 0.05:
    print("拒绝原假设")
else:
    print("未能拒绝原假设")

在这个例子中，我们使用了NumPy和SciPy库来进行计算。运行这段代码将得出Kruskal-Wallis检验的结果，包括检验统计量和p-值。如果p-值小于0.05，则拒绝原假设，即组之间的中位数不相等。