Python矩阵求逆详解

一、前置知识

在讲述矩阵求逆之前，我们需要先了解一下以下几个概念：

1. 矩阵：

matrix = [[1, 2],[3, 4]]

2. 单位矩阵：

import numpy as np
I = np.eye(2)
print(I) #输出 [[1., 0.], [0., 1.]]

3. 逆矩阵：

import numpy as np
matrix = [[1, 2],[3, 4]]
inv_matrix = np.linalg.inv(matrix)
print(inv_matrix) #输出 [[-2. ,  1. ], [ 1.5, -0.5]]

二、求逆方法

得到了上述的前置知识，我们就可以开始讲解Python如何求逆矩阵。

Python中求逆矩阵的方法是使用numpy.linalg.inv()函数。它的参数是输入的矩阵，返回值是该矩阵的逆矩阵。

import numpy as np
matrix = [[1, 2],[3, 4]]
inv_matrix = np.linalg.inv(matrix)
print(inv_matrix) #输出 [[-2. ,  1. ], [ 1.5, -0.5]]

上述代码中，我们使用了numpy库中的linalg.inv()函数求出矩阵的逆，并将结果输出。

需要注意的是：当矩阵不可逆时，linalg.inv()函数会抛出异常，并提示矩阵不可逆。

三、求逆应用场景

矩阵求逆的应用场景非常广泛，下面列举了一些常见的应用场景。

1. 线性方程组求解

如果我们有一个线性方程组：

2x+3y = 7
4x+5y = 11

可以用矩阵表示为：

#系数矩阵
A = [[2, 3], [4, 5]]
#常数矩阵
B = [[7], [11]]

那么这个方程组的解就可以用逆矩阵来求解：

X = A^(-1)B

其中，X表示未知数的值，A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵，B为常数矩阵。

import numpy as np
A = [[2, 3], [4, 5]]
B = [[7], [11]]
X = np.dot(np.linalg.inv(A),B)
print(X)

上述代码中，我们使用numpy中的dot()函数计算了乘积A^(-1)B，得到了方程组的解。

2. 描述二阶变换的矩阵求逆

在图像处理中，矩阵求逆可以描述一类二阶的变换。

我们可以用代码来演示一下旋转90度这个二阶变换的矩阵求逆：

import numpy as np
#原始图像
image = [[1, 2, 3],
         [4, 5, 6],
         [7, 8, 9]]
#变换后的图像
new_image = [[7, 4, 1],
             [8, 5, 2],
             [9, 6, 3]]
#旋转矩阵
rotate_matrix = [[0, -1, 0],
                 [1,  0, 0],
                 [0,  0, 1]]
#旋转矩阵的逆矩阵
inv_rotate_matrix = np.linalg.inv(rotate_matrix)
#逆变换后的图像
inv_new_image = np.dot(inv_rotate_matrix, image)
print(inv_new_image)

上述代码中，我们先定义了一个原始图像和变换后的图像，然后定义了旋转矩阵和其逆矩阵。最后用逆矩阵对变换后的图像进行逆变换，得到了原始图像。

3. 数据降维

在机器学习和数据分析中，矩阵求逆也经常用于数据降维。具体来说，就是通过对原始数据矩阵求逆，得到一个降维后的数据矩阵。

下面的代码演示了如何使用矩阵求逆对二维特征进行降维：

import numpy as np
#原始数据矩阵
X = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
#求协方差矩阵
cov_matrix = np.cov(X.T)
print(cov_matrix)
#求逆协方差矩阵
inv_cov_matrix = np.linalg.inv(cov_matrix)
print(inv_cov_matrix)
#降维后的数据矩阵
reduced_data = np.dot(X, inv_cov_matrix)
print(reduced_data)

上述代码中，我们先定义了一个二维的原始数据矩阵，然后通过求协方差矩阵来进行特征降维。具体而言，我们使用numpy库中的cov()函数来计算原始数据矩阵的协方差矩阵，然后对协方差矩阵求逆，得到逆协方差矩阵。最后，我们用逆协方差矩阵与原始数据矩阵相乘，得到了降维后的数据矩阵。