Newton-Raphson算法详解

一、介绍

Newton-Raphson算法（简称NR算法）是一种非常常用的数值求解算法，可用于求解非线性方程、最优化问题等。该算法来源于牛顿迭代法，是一种通过一次一次的改进来逐步逼近函数零点的方法。

举个简单例子，假设我们要求解一个一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根，我们可以通过NR算法求解。当然，在实际应用中，我们会用更高阶的多项式函数或者非线性方程来描述问题。但是无论问题本身如何，NR算法都可以在保持高精度的同时，大大提高求解效率。

二、算法原理

NR算法的具体实现就是基于泰勒级数（Taylor series）展开，利用一阶导数（也称为Jacobian矩阵）来逼近函数的零点。

设待求解的函数为 f(x)，零点为 x*，则泰勒展开式为：

f(x) = f(x*) + f'(x*)(x – x*) + O((x – x*)^2)

在NR算法中，我们通常会丢掉O((x – x*)^2)这一项，因为其在x接近x*时会趋近于0，用Jacobian矩阵来代替我们有：

f(x*) + J(x*)(x – x*) = 0

移项得：

x = x* – J(x*)^-1 * f(x*)

上述公式就是NR算法的核心，不断迭代x的值，最终可以将x逼近x*。

三、算法流程

NR算法的流程如下：

1. 选取初始点x0
2. 计算函数f在x0处的导数f'(x0)
3. 计算函数f在x0处的函数值f(x0)
4. 更新x： x = x0 – f(x0) / f'(x0)
5. 如果x与上一次迭代的结果的差距小于某一个设定的阈值，则停止迭代
6. 如果迭代次数达到了上限，则停止迭代
7. 返回结果x

四、代码示例

#include 
#include 

double f(double x) {
    return x * x - 3;
}

double df(double x) {
    return 2 * x;
}

double NewtonRaphson(double x0, int max_iter, double tol) {
    int i = 0;
    double x = x0, dx = tol + 1;
    while (dx > tol && i < max_iter) {
        double fx = f(x); // 计算f(x)
        double dfx = df(x); // 计算f'(x)
        dx = std::abs(fx / dfx); // 计算|f(x)/f'(x)|
        x -= fx / dfx; // 更新x
        ++i; // 更新迭代次数
    }
    return x;
}

int main() {
    double x0 = 1.0; // 初始点
    int max_iter = 100; // 最多迭代100次
    double tol = 1e-6; // 精度要求为1e-6
    double x = NewtonRaphson(x0, max_iter, tol);
    std::cout << "x = " << x << std::endl;
    return 0;
}

五、总结

NR算法是一种非常常见的数值求解算法，适用于求解非线性方程、最优化问题等应用场景，具有高精度和高效等优点。通过不断迭代求解，可以逐步逼近函数零点的位置。在实际应用中，我们需要注意设定合理的起始点、迭代次数和误差范围等参数，以保证算法的正确性和效率。