ceres库：优化问题的求解工具

一、ceres库简介

ceres库是google发布的用于解决非线性最小二乘问题的工具。非线性最小二乘问题是指要最小化一个带有非线性项的误差函数，这个函数通常会随着自变量的变化而变化，因此求解非线性最小二乘问题需要用到迭代优化算法。目前主要的迭代优化算法有Levenberg Marquardt算法和Gauss-Newton算法等。

ceres库提供了一系列的C++接口，可以用于求解各种类型的非线性优化问题。而且，ceres库还可以进行自动求导和数值积分等操作，因此非线性优化问题的求解变得相对简单。

二、ceres库的基本用法

1、定义优化问题

首先，我们需要定义一个优化问题，这个优化问题包含若干个误差方程，每个误差方程都包含了一些自变量和参数。例如，我们要求解以下非线性优化问题：

$$ \min_{x,y,z} (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-4)^2 $$

在ceres库中，我们可以使用以下代码定义这个优化问题：

// create the problem
ceres::Problem problem;

// add the cost functions
ceres::CostFunction* cost_function = new ceres::AutoDiffCostFunction(new TestCostFunction);
problem.AddResidualBlock(cost_function, NULL, &x, &y, &z);

其中，TestCostFunction是一个自定义的误差函数，它包含三个参数，分别是x、y和z。我们将这个误差函数用AutoDiffCostFunction封装起来，然后使用AddResidualBlock添加到问题中。

2、设置优化选项

接下来，我们需要设置一些优化选项，以告诉ceres库如何运行。例如，可以设置优化算法的类型、最大迭代次数等参数。以下是一个示例：

// set the solver options
ceres::Solver::Options options;
options.linear_solver_type = ceres::DENSE_QR;
options.max_num_iterations = 100;
options.minimizer_progress_to_stdout = true;

3、求解优化问题

最后，我们可以使用ceres库提供的Solver求解器来求解这个优化问题：

// run the solver
ceres::Solver::Summary summary;
ceres::Solve(options, &problem, &summary);

求解完成后，我们可以得到优化问题的解，也可以得到求解的状态，例如最优解、优化耗时等信息。

三、ceres库的进阶用法

1、使用数值积分

除了求解非线性最小二乘问题外，ceres库还可以进行数值积分。数值积分是将一个连续函数转化为离散数据的过程，它通常用于求解一些复杂的数学问题。以下是一个使用ceres库进行数值积分的示例：

ceres::DynamicAutoDiffCostFunction*
    exponential_cost_function =
        new ceres::DynamicAutoDiffCostFunction(
            new ExponentialCost(Gv, times));

exponential_cost_function->AddParameterBlock(1);
exponential_cost_function->AddParameterBlock(1);
exponential_cost_function->AddParameterBlock(2);
exponential_cost_function->AddParameterBlock(1);

exponential_cost_function->SetNumResiduals(num_samples_);

ceres::Integrator* integrator = new ceres::MidPointIntegrator(0.01, 10);

ceres::Solve(core::kSolveOptions, problem, &summary);

double x = 1, y = 1, z = 1;
for (const auto& item : states)
{
    const double* params[] = {&x, &y, &z};
    EXPECT_TRUE(problem.Evaluate(item.parameters, item.derivatives, params, item.residuals, NULL));
}

2、使用自动求导

使用自动求导可以大大简化非线性优化问题的求解过程。在ceres库中，我们可以使用AutoDiffCostFunction封装求导过程，然后将其添加到优化问题中。以下是一个使用ceres库进行自动求导的示例：

// define the cost function
struct CostFunctor {
  template 
  bool operator()(const T* const x, T* residual) const {
    residual[0] = T(10.0) - x[0];
    return true;
  }
};

// create the problem
ceres::Problem problem;

// add the cost function
ceres::CostFunction* cost_function =
    new ceres::AutoDiffCostFunction(new CostFunctor);
problem.AddResidualBlock(cost_function, NULL, &x);

3、使用ceres库进行鲁棒优化

鲁棒优化是一种特殊的非线性优化技术，它可以有效地处理离群点和异常值。在ceres库中，我们可以用HuberLoss和CauchyLoss等鲁棒核函数代替传统的平方误差。以下是一个使用HuberLoss进行鲁棒优化的示例：

ceres::LossFunction* loss_function = new ceres::HuberLoss(1.0);

ceres::DynamicAutoDiffCostFunction* robust_cost_function =
    new ceres::DynamicAutoDiffCostFunction(
        new RobustCost(x, y, z));

robust_cost_function->AddParameterBlock(2);
robust_cost_function->AddParameterBlock(1);
robust_cost_function->AddParameterBlock(1);

robust_cost_function->SetNumResiduals(1);
problem.AddResidualBlock(robust_cost_function, loss_function, &_a[0], &_p[0], &_t[0]);

四、总结

ceres库是一款非常好用的非线性优化工具，它可以帮助我们解决各种类型的非线性最小二乘问题。在实际应用中，我们可以根据具体的需求选择不同的优化算法以及鲁棒核函数，从而得到更加准确的优化结果。