2022美赛e题全方位分析

一、题意介绍

2022美赛e题，是一道经典的网络流算法题目，考察的是多源汇最小费用最大流问题。题目中给出一个有向带权图，其中每条边都有最大容量和单位费用。还给出了n个源点和n个汇点，要求从源点送n个单位的流量到汇点，每个源点只能送1个单位的流量，汇点也只能接收1个单位的流量。求在满足这个条件的前提下，最小化发送费用。

这道题目看上去比较复杂，但是只要掌握了相关的算法和思路，就可以简单高效地解决。下面分别从网络流、费用流、Dijkstra算法和多源汇问题四个方面进行详细分析。

二、网络流

网络流算法是指在一个图中寻找一条从源点到汇点的路径，使得路径中所有边的权值之和最小（或最大）。网络流算法中比较经典的有 Ford-Fulkerson 算法，Dinic 算法，Edmonds-Karp算法 等。

1、Ford-Fulkerson算法

首先介绍一下最简单的算法，Ford-Fulkerson算法，它是由 Lester R. Ford Jr 和 Delbert R. Fulkerson 于1956年提出的。

// Ford-Fulkerson算法伪代码
while (未满流路径存在) {
    找到一条增广路;
    更新残量网络;
}

其中，增广路就是在残量网络上找到一条从源点到汇点的路径，使得路径上所有边的剩余容量都大于0。找到增广路之后，就可以通过对路径上所有边进行调整，将从源点到汇点的流增加一点。

2、Dinic算法

Dinic算法是由Yefim Dinitz在1970年发明的一种算法，它在效率上比Ford-Fulkerson算法更高，并且广泛应用于实际生产中。

// Dinic算法伪代码
while (分层图中存在从起点到终点的增广路) {
    通过BFS构建分层图;
    对于每条增广路径进行优化;
}

在Dinic算法中，利用BFS的方式进行层次分解，快速找到从起点到终点的增广路径。然后再对每一条增广路径进行优化，最终得到最大流大小和最小割的值。

三、费用流

费用流问题指的是找到一条从源点到汇点的路径，使得路径上所有边的流量都大于等于0，同时使得路径上所有边的费用之和最小或最大。

1、最大费用最大流问题

最大费用最大流问题，可以看做是最小费用最大流问题的反向问题，可以使用Dinic算法进行求解。具体思路是将图中的所有费用取负，然后求解最小费用最大流问题。

// 最大费用最大流问题伪代码
while (残量网络中存在一条从起点到终点的增广路) {
    通过BFS构建分层图;
    对于每条增广路径进行优化（增加流量、减少费用）;
}
得到输出结果。

2、最小费用最大流问题

最小费用最大流问题是指在求一个网络的最大流的同时使流量的费用最小。该问题可以通过将源点向图中各顶点中新增一个超级源点，汇点向各顶点中新增一个超级汇点，从超级源点向原始源点连一条费用为0，容量为1的边，从原始汇点向超级汇点连一条费用为0，容量为1的边。这样就可以将原问题转化为一般的最小费用最大流问题了，可以使用SPFA、Bellman-Ford或Dijkstra算法进行求解。

四、Dijkstra算法

Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年发明，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题。其基本思想是贪心，每一次找到一个距离源点最近的未标记顶点，并将其标记，然后根据这个顶点的出边更新与它直接相邻的顶点到源点的距离。

// Dijkstra算法伪代码
for (i=1; i<=n; i++) {
    dist[i] = inf;
    vis[i] = false;
}
dist[s] = 0;
for (i=1; i<=n; i++) {
    int minDist = inf, u = -1;
    for (j=1; j dist[j]) {
            minDist = dist[j];
            u = j;
        }
    }
    if (u == -1) break;
    vis[u] = true;
    for (int k=head[u]; k; k=edge[k].next) {
        int v = edge[k].to;
        if (dist[v] > dist[u] + edge[k].w) {
            dist[v] = dist[u] + edge[k].w;
        }
    }
}

五、多源汇问题

多源汇问题指的是给定一个有向图中，存在多个源点和多个汇点，要求从源点到汇点传输一定数量的流量，同时存在一定的源点-汇点流量约束条件。

多源汇问题可以转化为最小费用最大流问题，具体做法是将源点向汇点连一条容量为1，费用为0的边，然后通过建立超级源点和超级汇点的方式，将多个源点和多个汇点转化为单个源点和汇点的方式，再进行求解。

// 多源汇问题伪代码
for (i=1; i<=n; i++) {
    add_edge(s, i, 1, 0);
    add_edge(i+n, t, 1, 0);
    for (j=1; j<=n; j++) {
        int cost;
        scanf("%d", &cost);
        add_edge(i, j+n, 1, cost);
    }
}
int flow, cost;
min_cost_flow(s, t, INF, flow, cost);
printf("%d\n", cost);

六、总结

综上所述，2022美赛e题是一道操作难度较高的网络流算法题目，考察了多种经典的算法和思路，包括Ford-Fulkerson算法、Dinic算法、费用流算法、Dijkstra算法和多源汇问题。对于学习者来说，需要多加练习，深入理解每个算法的思想和实现方式，在实践中不断提高调试和优化的能力，才能真正掌握这些知识点。