基于重要性采样的概率估计

概率估计是机器学习中的一项基础性任务，其目的是使用已有的数据对未知的随机变量及其分布进行推断。在实际应用中，大多数情况下只能收集到一小部分数据，无法全面了解整个概率分布。因此，需要从有限数据中获取尽可能多的信息来近似真实分布。本文将介绍其中一种基于重要性采样的方法。

一、重要性采样

重要性采样是一种常用的概率分布估计方法，其思想是使用一个已知的容易采样的分布来估计一个难以直接采样的分布。重要性采样的一般步骤如下：

def importance_sampling(p, q, samples):
    # p: 目标分布
    # q: 采样分布
    # samples: q中采样的数据
    weights = p(samples) / q(samples)
    return np.mean(weights * samples)

其中p和q分别是目标分布和采样分布，samples是从采样分布中获取的一些样本。假设我们能够从q中采样到x1, x2, …, xn，那么目标分布的期望可以通过重要性采样来近似计算：

import numpy as np

def f(x):
    return np.sin(x)

def q(x):
    return np.exp(-x ** 2)

def importance_sampling(p, q, samples):
    weights = p(samples) / q(samples)
    return np.mean(weights * samples)

samples = q(np.random.randn(10000))
print(importance_sampling(f, q, samples))

其中我们使用了一个简单的例子：目标分布为$f(x)=sin(x)$，采样分布为$q(x)=e^{-x^2}$。

二、重要性采样与Monte Carlo方法

重要性采样可以看作是Monte Carlo方法的一种扩展形式。在Monte Carlo方法中，我们通常是从目标分布中生成样本，再利用这些样本来计算函数的期望值。例如，在积分问题中，可以通过随机抽样来近似求解：

def monte_carlo(f, a, b, n):
    x = np.random.uniform(a, b, n)
    return (b-a) * np.mean(f(x))

result = monte_carlo(np.sin, 0, np.pi, 10000)
print(result)

这里计算的是$\int_0^\pi sin(x)dx$。

如果目标分布中的样本不容易生成，我们可以通过重要性采样来使用一个容易生成的分布来近似。

三、重要性采样的优点和缺点

优点

重要性采样是一种简单而有效的概率估计方法。相对于前面提到的Monte Carlo方法，其优点在于：

• 不需要从目标分布中生成样本，而是可以利用一个容易生成的分布。
• 可以更准确地估计概率分布的尾部，因为重要性采样可以在尾部的样本区域选择更多的样本。

缺点

然而，重要性采样也存在一些限制：

• 当采样分布和目标分布差异较大时，重要性采样可能会失效，估计结果会存在较大误差。
• 重要性采样需要对采样分布进行选取，需要先对目标分布进行一些了解。

四、总结

重要性采样是一种基于概率分布的估计方法，在机器学习、统计学习、计算机视觉等领域都有广泛的应用。虽然重要性采样存在一些局限性，但是在许多场景下，其仍然是一种有效的估计方法。