相机成像模型详解

一、相机成像原理

相机成像原理是将三维物体通过投影变换映射到二维图像上的过程。在现实世界中，物体的位置被表示为三维坐标，而图像中的位置被表示为二维坐标。为了将物体的位置映射到图像上，并保留物体的三维空间信息，需要一个数学模型。

相机成像模型一般使用针孔相机模型，该模型假设相机是由一个光学中心和一个无穷小孔构成。因为孔非常小，所以只有沿着相机中心到孔的光路才能通过相机。这种情况下，物体的每一个点发出的光线都经过针孔并在相机背面上投影成一幅倒立的图像。

二、针孔相机模型

针孔相机模型描述了相机的光学成像过程。该模型是将三维坐标映射到二维图像上的一种数学模型。在针孔相机模型中，相机由一个光心和一个无穷小孔构成，该模型的主要参数是焦距。

在针孔相机模型中，三维物体的每一个点都会发出一条射线经过针孔投影到二维图像平面上，形成一幅倒立的二维图像。因为针孔越小光阑的变动越小，所以针孔大小的变化会影响图像的清晰度，需要根据不同的拍摄距离和光学参数选取不同的针孔大小以达到最优的成像效果。

#include 
#include 
using namespace std;
using namespace cv;
int main()
{
    Mat image;
    VideoCapture cap;
    cap.open(0);
    if (!cap.isOpened()) {
        cout << "Can't open camera!" << endl;
        return -1;
    }
    while (cap.read(image)) {
        imshow("Camera", image);
        waitKey(1);
    }
    return 0;
}

三、相机的标定

在使用相机拍摄时，需要了解相机拍摄的内部参数。这些参数包括焦距、畸变、旋转矩阵和平移矩阵等。通常情况下，这些参数无法直接得到，需要通过相机的标定来获取。

相机的标定过程是利用已知的三维点和它们在图像上的投影点，通过最小二乘法和多项式拟合，计算出相机的内部参数和外部参数。这些参数可以用来表示相机的成像规律，能够有效地提高图像的质量。

#include 
#include 
using namespace std;
using namespace cv;
int main()
{
    Mat image;
    vector<vector> object_points;
    vector<vector> image_points;
    Size image_size;
    vector rvecs, tvecs;
    Mat intrinsic_matrix, dist_coeffs;
    int corner_count = 0;
    Size board_size = Size(9, 6);
    int board_n = board_size.width * board_size.height;
    vector corners;
    vector temp_object_points;
    int success = 0;

    VideoCapture cap;
    cap.open(0);
    if (!cap.isOpened()) {
        cout << "Can't open camera!" << endl;
        return -1;
    }
    while (success < 20) {
        cap.read(image);
        if (image.empty()) {
            continue;
        }
        image_size = image.size();
        bool pattern_was_found = findChessboardCorners(image, board_size, corners);
        if (pattern_was_found) {
            cornerSubPix(image, corners, Size(11, 11), Size(-1, -1),
                 TermCriteria(TermCriteria::COUNT + TermCriteria::EPS, 30, 0.1));
            drawChessboardCorners(image, board_size, corners, pattern_was_found);
            corner_count += corners.size();
            success++;
            for (int i = 0; i < board_n; i++) {
                Point3f point((float)(i / board_size.width), float(i%board_size.width), 0.0f);
                temp_object_points.push_back(point);
            }
            object_points.push_back(temp_object_points);
            image_points.push_back(corners);
        }
        imshow("Camera", image);
        waitKey(1);
    }

    double rms = calibrateCamera(object_points, image_points, image.size(), intrinsic_matrix,
                                 dist_coeffs, rvecs, tvecs,
                                 CV_CALIB_FIX_K4 + CV_CALIB_FIX_K5);
    cout << "Distortion coefficients: " << dist_coeffs << endl;
    cout << "Intrinsic matrix: " << intrinsic_matrix << endl;

    return 0;
}

四、相机投影变换

在三维空间中定义一个点的坐标为（X, Y, Z），其在相机坐标系中的坐标为（x, y, z）。如何将这个点投影到图像上呢？

相机投影变换的过程是将三维坐标映射到二维图像上，这个过程主要分为两步：第一步是将三维坐标系中的点投影到相机坐标系中；第二步是将相机坐标系中的点投影到二维图像平面上。

#include 
#include 
using namespace std;
using namespace cv;
int main()
{
    Mat image;
    Mat camera_matrix = Mat::zeros(3, 3, CV_64F);
    Mat rot_matrix = Mat::zeros(3, 3, CV_64F);
    Mat trans_matrix = Mat::zeros(3, 1, CV_64F);
    Mat project_matrix = Mat::zeros(3, 4, CV_64F);

    double f = 689.0343; // 焦距
    double cx = 319.5; // 光心 x 坐标
    double cy = 239.5; // 光心 y 坐标
    camera_matrix.at(0, 0) = f;
    camera_matrix.at(1, 1) = f;
    camera_matrix.at(0, 2) = cx;
    camera_matrix.at(1, 2) = cy;
    camera_matrix.at(2, 2) = 1;

    rot_matrix.at(0, 0) = 1;
    rot_matrix.at(1, 1) = 1;
    rot_matrix.at(2, 2) = 1;

    trans_matrix.at(0, 0) = 0;
    trans_matrix.at(1, 0) = 0;
    trans_matrix.at(2, 0) = 20; // 相机到物体 20cm 的距离

    Mat object_points = Mat::zeros(4, 1, CV_64F);
    object_points.at(0, 0) = 0;
    object_points.at(1, 0) = 0;
    object_points.at(2, 0) = 0;
    object_points.at(3, 0) = 1;

    project_matrix = camera_matrix * rot_matrix * (Mat_(3, 1) << 0, 0, 20) + camera_matrix * trans_matrix;
    Mat image_points = project_matrix * object_points;

    cout << "Image Points: " << image_points << endl;

    return 0;
}

五、结论

相机成像模型是图像处理领域中的一个重要概念。了解相机成像模型的基本原理，可以更好地理解图像的成像过程。同时，相机的标定和投影变换等技术也为处理三维物体提供了重要的工具。