一、基础知识
Fast算法是一种基于快速傅里叶变换（FFT）的算法，可以大幅提高多项式求逆、多项式求值等问题的运算速度。FFT算法将多项式转化成点值表示，再通过神奇的分治思想将点值表示转化成系数表示，进而实现多项式之间的高效运算。
二、算法流程
根据FFT算法的思想，fast算法的主要流程可以分为以下几步：
1.预处理：
a.选择一个大于等于n的2的整数次幂m，构造一个大小为m的数组a，并将输入的n个系数按照升幂排列填充进去。
b.计算m个复数ωn^0,ωn^1,…,ωn^(m-1)，其中ωn=exp(2πi/n)，并存储在一个数组w中。
2.变换：
a.在a数组中将原多项式转化成以点值(nw^0,nw^1,…,nw^(n-1))表示的形式，并存储在一个数组v中（如果快速求多点值问题，则直接输入多点值，不需要进行变换）。
b.利用分治思想进行DFT（离散傅里叶变换）操作，将v数组转化为以系数表示的形式u。
3.逆变换：
a.通过u数组重构多项式。如果需要求解多项式求逆问题，则直接将u数组用于逆变换即可得到所求结果。如果需要快速求多点求值问题，还需将u数组做取模等操作得到最终结果。三、算法实现
下面展示一个利用快速傅里叶变换求解多项式之间加、减、乘运算的示例代码：
#define cd complex<double>
const double PI = acos(-1.0);
int rev[MAXN];
cd a[MAXN], b[MAXN];
inline void FFT(cd *a, int n, int flag)
{
for (int i = 0; i < n; ++ i)
if (i < rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
for (int k = 2; k <= n; k <> 1;
cd Wn(cos(2 * PI / k), flag * sin(2 * PI / k));
for (int i = 0; i < n; i += k)
{
cd w(1.0, 0.0);
for (int j = i; j < i + mid; ++ j, w = w * Wn)
{
cd x = a[j], y = w * a[j + mid];
a[j] = x + y; a[j + mid] = x - y;
}
}
}
if (flag == -1) for (int i = 0; i < n; ++ i) a[i] /= n;
}
inline void init(int n)
{
int L = -1;
for (int i = 0; i > 1] >> 1 | (i & 1) <> 1;
solve(l, mid);
int n = 1; while (n <= r - l + 1) n <<= 1;
init(n << 1);
for (int i = l; i <= mid; ++ i) b[i - l] = a[i];
for (int i = mid + 1; i <= r; ++ i) b[r - mid + i - l - 1] = a[i];
FFT(b, n, 1);
for (int i = 0; i < n; ++ i) b[i] *= b[i];
FFT(b, n, -1);
for (int i = l; i <= r; ++ i) a[i] = b[i - l] / (n << 2);
solve(l, mid);
solve(mid + 1, r);
}
四、算法优化
在实际应用中，fast算法的性能优化是一个重要的研究方向。以下列举几种常见的优化策略：
1.分治优化
在实现多项式乘法时，可以利用卷积定理进行分治，并对每个子问题使用FFT算法求解。例如将两个多项式分别拆分成左半部分和右半部分，每个子问题的规模减少一半。这样可以将时间复杂度优化至O(nlog^2n)。
2.优化FFT实现
FFT算法中的DFT操作是瓶颈，因此可以通过各种技巧优化DFT实现的效率，例如蝶形运算优化、位逆序置换、递归展开、避免重复计算点值等等。在实现时，可以参考一些经典FFT库的实现进行优化。
3.将mod运算提取
当需要对多项式进行取模、求逆、求导等操作时，可以提前对系数进行取模，在计算过程中进行模运算，最后再对结果做取模即可。由于mod运算开销较大，这种策略可以带来深度优化。
4.多项式优化
根据实际需要，可以通过尝试调整多项式系数的排列顺序、引入牛顿迭代优化多项式求解、进行系数约减等方法优化算法实现。值得注意的是，在优化过程中需要进行多组数据测试进行评估，以避免不必要的副作用。
原创文章，作者：CMYMZ，如若转载，请注明出处：https://www.506064.com/n/332457.html
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