矩阵的性质

一、矩阵的定义

矩阵是一个按照矩形排列的数学对象，其中的数值按照行和列进行排列。以$m \times n$为例，表示矩阵由$m$行和$n$列构成。

矩阵的表示方法可以使用数组、列表等方式。我们可以通过下标访问矩阵中的元素，如$A_{i,j}$表示矩阵$A$中第$i$行第$j$列的元素。

// 以二维数组表示矩阵
int A[2][3] = {
    {1, 2, 3},
    {4, 5, 6}
};

// 访问第1行第2列元素
int a = A[0][1];

二、矩阵的基本运算

1. 矩阵加法

两个相同行列的矩阵相加，即将对应位置的元素相加得到新矩阵。$C_{i,j} = A_{i,j}+B_{i,j}$。

// 矩阵加法
int A[2][3] = {
    {1, 2, 3},
    {4, 5, 6}
};
int B[2][3] = {
    {2, 3, 4},
    {5, 6, 7}
};
int C[2][3];

for (int i = 0; i < 2; i++) {
    for (int j = 0; j < 3; j++) {
        C[i][j] = A[i][j] + B[i][j];
    }
}

2. 矩阵数乘

矩阵中的每个元素都乘上一个数$k$，得到新矩阵。$C_{i,j} = k \times A_{i,j}$。

// 矩阵数乘
int A[2][3] = {
    {1, 2, 3},
    {4, 5, 6}
};
int C[2][3];

int k = 2;
for (int i = 0; i < 2; i++) {
    for (int j = 0; j < 3; j++) {
        C[i][j] = k * A[i][j];
    }
}

3. 矩阵乘法

两个矩阵$A_{m \times n}$和$B_{n \times p}$相乘，得到新矩阵$C_{m \times p}$。$C_{i,j}=\sum_{k=1}^n A_{i,k} \times B_{k,j}$。

// 矩阵乘法
int A[2][3] = {
    {1, 2, 3},
    {4, 5, 6}
};
int B[3][2] = {
    {2, 3},
    {4, 5},
    {6, 7}
};
int C[2][2];

for (int i = 0; i < 2; i++) {
    for (int j = 0; j < 2; j++) {
        C[i][j] = 0;
        for (int k = 0; k < 3; k++) {
            C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
        }
    }
}

三、矩阵的特殊性质

1. 单位矩阵

对角线上的元素为1，其余元素为0的矩阵为单位矩阵$I$。$I_{i,j} =
\begin{cases}
1, & i=j \\
0, & i\neq j \\
\end{cases}$。

// 单位矩阵
int I[3][3] = {
    {1, 0, 0},
    {0, 1, 0},
    {0, 0, 1}
};

2. 转置矩阵

将矩阵的行和列互换得到的新矩阵为转置矩阵。$B_{i,j} = A_{j,i}$。

// 转置矩阵
int A[2][3] = {
    {1, 2, 3},
    {4, 5, 6}
};
int B[3][2];

for (int i = 0; i < 3; i++) {
    for (int j = 0; j < 2; j++) {
        B[i][j] = A[j][i];
    }
}

3. 逆矩阵

对于$n \times n$的可逆矩阵$A$，存在一个$n \times n$的矩阵$A^{-1}$，使得$AA^{-1}=A^{-1}A=I$，$A^{-1}$叫做$A$的逆矩阵。

// 逆矩阵
double A[3][3] = {
    {1, 2, 3},
    {4, 5, 6},
    {7, 8, 9}
};
double invA[3][3];
double detA;

detA = (A[0][0]*A[1][1]*A[2][2] + A[0][1]*A[1][2]*A[2][0] + A[0][2]*A[1][0]*A[2][1])
     - (A[0][2]*A[1][1]*A[2][0] + A[0][0]*A[1][2]*A[2][1] + A[0][1]*A[1][0]*A[2][2]);

invA[0][0] = (A[1][1]*A[2][2] - A[1][2]*A[2][1]) / detA;
invA[0][1] = (A[0][2]*A[2][1] - A[0][1]*A[2][2]) / detA;
invA[0][2] = (A[0][1]*A[1][2] - A[0][2]*A[1][1]) / detA;
invA[1][0] = (A[1][2]*A[2][0] - A[1][0]*A[2][2]) / detA;
invA[1][1] = (A[0][0]*A[2][2] - A[0][2]*A[2][0]) / detA;
invA[1][2] = (A[0][2]*A[1][0] - A[0][0]*A[1][2]) / detA;
invA[2][0] = (A[1][0]*A[2][1] - A[1][1]*A[2][0]) / detA;
invA[2][1] = (A[0][1]*A[2][0] - A[0][0]*A[2][1]) / detA;
invA[2][2] = (A[0][0]*A[1][1] - A[0][1]*A[1][0]) / detA;

4. 对称矩阵

矩阵$A$的转置矩阵等于它本身的矩阵为对称矩阵。$A^T = A$。

// 对称矩阵
int A[3][3] = {
    {1, 2, 3},
    {2, 4, 5},
    {3, 5, 6}
};
int B[3][3];

for (int i = 0; i < 3; i++) {
    for (int j = 0; j < 3; j++) {
        B[i][j] = A[j][i];
    }
}
cout << ((memcmp(A, B, sizeof(A)) == 0) ? "A is symmetric matrix" : "A is not symmetric matrix") << endl;

5. 上三角矩阵

除了主对角线以下的元素全部为0的方阵为上三角矩阵。

// 上三角矩阵
int A[3][3] = {
    {1, 2, 3},
    {0, 4, 5},
    {0, 0, 6}
};