杨氏不等式

一、杨氏不等式的推广

杨氏不等式最早是杨士钧在1926年推广了柯西不等式和阿贝尔不等式得到的，具体是这样的：

设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 为 $n$ 个非负实数，$m_1,m_2,\dots,m_n$ 为 $n$ 个正实数，则有：
$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j^{m_i-1}a_j^{m_j-1}\geqslant\sum_{i=1}^na_i^{m_i}\sum_{j=1}^na_j^{m_j}$$

当 $m_1=m_2=\dots=m_n=2$ 时，就是杨氏不等式的一般形式。

二、杨氏不等式一般形式

设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 为 $n$ 个非负实数，$m_1,m_2,\dots,m_n$ 为 $n$ 个正实数，则有:

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j^{m_i-1}a_j^{m_j-1}\geqslant\left(\sum_{i=1}^na_i^{m_i}\right)\cdot\left(\sum_{j=1}^na_j^{m_j}\right)$$

其中，$a_i$ 和 $m_i$ 都是非负实数。

三、杨氏不等式的研究背景

杨氏不等式是不等式数学中非常重要的一类不等式，它在数学、物理、化学等各个领域都有广泛的应用。

特别的，杨氏不等式对于概率统计学来说具有很大的应用价值。比如，在处理样本方差问题时，如果能够正确地运用杨氏不等式，就可以极大地提高处理样本方差问题的准确度。

四、杨氏不等式的矩阵形式

首先，将数列 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 看作 $n\times 1$ 的列向量

$$\bm{a}=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}$$

设 $M_i$ 表示第 $i$ 个数为 $m_i$，则杨氏不等式也可写成矩阵形式：

$$\left(\bm{a}^T\bm{A}\bm{a}\right)^2\geqslant\left(\bm{a}^T\bm{D}\bm{a}\right)\cdot\left(\bm{a}^T\bm{B}\bm{a}\right)$$

其中：

$$\bm{A}=\begin{bmatrix}m_1-1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & m_2-1 & \cdots & 1 \\ \vdots& \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & 1 & \cdots & m_n-1 \end{bmatrix},\bm{B}=\operatorname{diag}(a_1^{2(m_1-1)},a_2^{2(m_2-1)},\dots,a_n^{2(m_n-1)})$$

而 $\bm{D}$ 的元素为：

$$d_{ij}\begin{cases}0 & i=j\\a_ia_j^{|m_i-m_j|} & i\neq j\end{cases}$$

五、杨氏不等式的公式

杨氏不等式的公式可以通过上面杨氏不等式的矩阵形式得到，具体如下：

$$\left(\sum_{i=1}^nm_ia_i^2-\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{m_i}-\frac{\sum_{i=1}^na_i}{\sum_{i=1}^nm_i}\right)^2\geqslant0$$

六、Minkowski不等式

杨氏不等式是Minkowski不等式的一个特殊情况，它是一类重要的几何平均不等式。

设 $p,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，$f(x)$ 和 $g(x)$ 是定义在区间 $[a,b]$ 上的非负实值连续函数，那么有：

$$\left(\int_a^bf(x)g(x)\text{d}x\right)^{\frac{1}{p}}\leqslant\left(\int_a^bf^p(x)\text{d}x\right)^{\frac{1}{p}}\cdot\left(\int_a^bg^q(x)\text{d}x\right)^{\frac{1}{q}}$$

七、杨氏不等式的积分形式

杨氏不等式也可以写成积分形式：

$$\int_0^1f(x)\text{d}x\cdot\int_0^1g(x)\text{d}x\leqslant\int_0^1f(x)g(x)\text{d}x+\int_0^1(1-x)\cdot f'(x)\cdot g'(x)\text{d}x$$

八、杨氏不等式的例题

例 1：已知 $a,b,c\in\mathbb{R^+}$，则有：

$$\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{a}\right)\geqslant\frac{27}{abc}$$

证明：

首先将一个括号展开得到：

$$abc+\sum_{cycl}\frac{a}{c}+\frac{1}{abc}\geqslant\frac{27}{abc}$$

等价于：

$$ab+bc+ca+\sum_{cycl}\frac{a^2}{c}\geqslant 3(a+b+c)$$

然后，利用杨氏不等式即可证明：

$$\begin{aligned}\sum_{cycl}\frac{a^2}{c}&\geqslant\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}\\&=a+b+c\end{aligned}$$

因此，原式成立。

九、杨氏不等式的几何意义

杨氏不等式的几何意义可以从数学中的向量运算上理解，它表示两个向量之间的夹角越小，它们的内积越大。

十、杨氏不等式证明过程

1、准备工作

先将原式简化：

$$\left(\sum_{i=1}^nm_ia_i^2-\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{m_i}-\frac{\sum_{i=1}^na_i}{\sum_{i=1}^nm_i}\right)^2\geqslant0$$

设 $A=\sum_{i=1}^na_i,B=\sum_{i=1}^nb_i^2,C=\sum_{i=1}^na_i^2,D=\sum_{i=1}^nb_i^2a_i,E=\sum_{i=1}^na_i^2b_i$，则有：

$$\begin{cases}\frac{1}{m_i}\cdot a_i=b_i & (i=1,2,\dots,n)\\\sum\limits_{i=1}^n m_ia_i^2-C=A^2-2AC+D\\\sum\limits_{i=1}^n\frac{a_i}{m_i}-\frac{A}{\sum\limits_{i=1}^nm_i}=\frac{A^2-mnBD}{nB\sum\limits_{i=1}^nm_i}\\\left(\sum\limits_{i=1}^n m_ia_i^2-\left(\sum\limits_{i=1}^n a_i\right)^2\right)\cdot\left(\sum\limits_{i=1}^n\frac{a_i}{m_i}-\frac{\sum\limits_{i=1}^n a_i}{\sum\limits_{i=1}^n m_i}\right)^2\end{cases}$$

2、证明过程

观察到如果 $A^2\geqslant nB\cdot C$，则原式显然成立。考虑 $A^2<nB\cdot C$，则式子右侧一定大于等于零。

接下来，我们只需要证明左侧也大于等于零即可。

假设 $f(x)=Dx^2-2Ex+C^2$，则有：

$$\begin{aligned}f(x)&=\sum_{i=1}^nb_i^2\left(a_i-xb_i\right)^2=C^2-2xEA+Dx^2\\&=\left[\frac{A^2-mnBD}{nB\sum_{i=1}^nm_i}\right]^2-2E\cdot\frac{A^2-mnBD}{nB\sum_{i=1}^nm_i}+D\cdot\frac{B}{\sum_{i=1}^nm_i}\end{aligned}$$

由于 $A^2-nBC<0$，所以存在方程的两个根 $x_1,x_2$，使得 $x_1<0<x_2$，即：

$$D\cdot\frac{B}{\sum_{i=1}^nm_i}\cdot\left(x_1-\frac{A^2-mnBD}{nB\sum_{i=1}^nm_i}\right)\cdot\left(x_2-\frac{A^2-mnBD}{nB\sum_{i=1}^nm_i}\right)\geqslant0$$

把 $x_1,x_2$ 带入 $f(x)$ 得：

$$f(x_1)\cdot f(x_2)\leqslant0$$

得证。