四元数转旋转矩阵

一、从旋转矩阵转四元数

旋转矩阵转四元数是一个相对简单的过程。

#include <Eigen/Dense>
Eigen::Matrix3d rotation_matrix(3,3);
Eigen::Quaterniond quaternion(rotation_matrix);

其中，Eigen::Matrix3d是3×3的旋转矩阵，Eigen::Quaterniond是4元数。将旋转矩阵作为参数传入Eigen::Quaterniond构造函数即可得到4元数。

二、四元数转矩阵

四元数转矩阵是四元数转旋转矩阵的第一步，它的实现相对简单。

Eigen::Matrix3d rotation_matrix = quaternion.toRotationMatrix();

其中，quaternion是表示旋转的四元数，rotation_matrix是得到的3×3的旋转矩阵。

三、旋转矩阵叉乘对应四元数

旋转矩阵叉乘对应四元数是四元数转旋转矩阵的第二步，是一个比较复杂的过程，需要使用到补数和叉积计算。

Eigen::Matrix3d rotation_matrix(3,3);
Eigen::Vector3d axis(0.0, 0.0, 1.0);
double angle = M_PI/2.0;
rotation_matrix = Eigen::AngleAxisd(angle, axis);

Eigen::Vector3d v(1.0, 0.0, 0.0);
Eigen::Quaterniond q;
q.setFromTwoVectors(v, rotation_matrix*v);

Eigen::Matrix3d rotation_matrix_from_q = q.toRotationMatrix();

以上代码中，axis和angle表示旋转轴和旋转角度，rotation_matrix是根据axis和angle生成的旋转矩阵，v是待旋转的向量，q是通过计算得到的四元数。这段代码的作用是将v向量绕z轴旋转90度，并将旋转后的向量再次表示为一个3×3的旋转矩阵。

四、旋转矩阵的范数

旋转矩阵的范数表示旋转矩阵的大小，用来衡量旋转的大小，它的计算公式为：

||A|| = max│λ│

其中，A为一个矩阵，λ为A的特征值。

Eigen::Matrix3d A;
double norm_A = A.norm();

以上代码中，A为一个3×3的旋转矩阵，norm_A表示矩阵A的范数。

五、旋转矩阵导数

求解旋转矩阵的导数是比较复杂的，需要使用到一些高级矩阵运算。

Eigen::Matrix3d A;
Eigen::Matrix3d A_dot;
Eigen::Matrix3d W;
A_dot = A*W - W*A;

其中，A为一个3×3的旋转矩阵，W为一个3×3的旋转向量（这里采用的是轴角表示法）。A_dot为求解得到的旋转矩阵的导数。

六、旋转矩阵的二范数

旋转矩阵的二范数表示矩阵的特征值平方和的平方根，是一个基本的矩阵运算。

Eigen::Matrix3d A;
double norm_A = A.norm();
double norm_A_squared = norm_A*norm_A;

以上代码中，A为一个3×3的旋转矩阵，norm_A表示矩阵A的范数，norm_A_squared表示二范数的平方。

七、旋转矩阵的导数选取

在求解旋转矩阵导数的过程中，如何选择W（旋转向量）是一个比较重要和复杂的问题。各种情况下，不同的W选择会有不同的效果。

这里以求解某一时刻的刚体角速度的求导为例，旋转矩阵R在这个刻度的变化速率为：

R_dot = w x R

其中，w为刚体角速度，x表示向量叉积。因此，可以选择旋转向量W为：

W = [w] = {{0, -wz, wy}, {wz, 0, -wx}, {-wy, wx, 0}}

Eigen::Matrix3d R;
Eigen::Vector3d w;
Eigen::Matrix3d W;
Eigen::Matrix3d R_dot = W*R;

以上代码中，R表示旋转矩阵，w表示角速度，W为选择的旋转向量，R_dot表示R的变化速率。