反证法经典例题分析

一、反证法经典例题及解题

反证法是数学证明中一种重要的证明方法。当我们需要证明一个命题时，如果直接证明困难，而假设其不成立，针对性地寻找矛盾，推导出其必然成立的结论，就可以证明原命题成立。下面以一个经典例题为例说明反证法的应用。

例题:

已知甲、乙两人中，必有一人白天说谎，一人晚上说谎。甲说：“我白天说真话。”乙说：“我晚上说假话。”问：谁说的是真话，谁说的是假话？

通过研究甲、乙两人的说法，很难直接得到结论，可以采用反证法。假设甲说谎话，则他晚上说谎，但是根据甲的说法，他白天说真话，产生矛盾。同样假设乙说谎话，则他白天说谎话，但是根据乙的说法，他晚上说假话，也产生矛盾。因此，甲乙两人的说法都存在矛盾，假设不成立，所以甲说的是真话，乙说的是假话。

根据上述例题的解题思路，我们可以总结出反证法的一般步骤，即先假设命题不成立，然后通过分析矛盾，推导出其必然成立的结论，从而证明原命题成立。

二、反证法经典例题高中数学

在高中数学中，反证法的应用非常广泛。下面选取一道高中数学反证法经典例题进行说明。

例题:

已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}=1$，证明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。

这道题目要求证明函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，而直接证明比较困难。我们可以采用反证法，假设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导，即存在一个正数 $\epsilon$，对于任意的正数 $\delta$，都存在 $x_1$ 和 $x_2$ 满足 $|x_2-0|<\delta$，$|x_1-0|\epsilon$，其中 $A$ 是某个常数。

根据 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续和 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}=1$ 的定义，可以得到：

$\lim\limits_{x \to 0} f(x)=0$。

因此，我们可以取 $\delta=\varepsilon$，则存在 $x_0$ 满足 $|x_0-0|<\delta$，且 $|f(x_0)|<\dfrac{\epsilon}{2}$。由于 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}=1$，所以对于上面的 $\delta=\varepsilon$，存在 $x_3$ 满足 $|x_3-0|<\delta$，且 $1-\dfrac{\epsilon}{2}<\dfrac{f(x_3)}{x_3}<1+\dfrac{\epsilon}{2}$。

将 $x_1=x_0$，$x_2=x_3$，$A=1$ 代入可得：

$\left|\dfrac{f(x_3)-f(x_0)}{x_3-x_0}-1\right|>\varepsilon$。

而根据 $|f(x_0)|<\dfrac{\epsilon}{2}$ 和 $1-\dfrac{\epsilon}{2}<\dfrac{f(x_3)}{x_3}<1+\dfrac{\epsilon}{2}$，可以推导出：

$\left|\dfrac{f(x_3)-f(x_0)}{x_3-x_0}-1\right|<\varepsilon$。

由于前后两式明显矛盾，假设不成立，因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。

三、反证法经典例题讲解

在讲解反证法经典例题时，我们可以通过精选一些经典性较强、代表性较好的反证法例题，深入浅出地讲解反证法的相关知识点和技巧。

例题:

已知 $a,b,c>0$ 且 $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}<4$，证明 $a^2+b^2+c^2<4abc$。

考虑采用反证法。假设 $a^2+b^2+c^2 \geqslant 4abc$，则

$\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab} \geqslant 4$。

根据 $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}<4$，可以得到：

$\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab} \geqslant \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}>3$。

由于之前得到的不等式和这个不等式矛盾，因此要假设的条件不成立，即 $a^2+b^2+c^2<4abc$。

四、反证法经典例题至多至少

在反证法经典例题中，有一些涉及“至多”“至少”的问题，通常可以采用反证法进行求解。下面给出一个例题。

例题:

一个球队有 $n$ 个人，他们依次编号为 $1,2,\cdots,n$。现在要求任选一些人，构成一个小队。如果我们选择的人中编号最大的是 $m$，则称这个小队是“以 $m$ 结尾的小队”。请问，选择多少个人，才能确保至少有一个“以 $m$ 结尾的小队”？

假设至少选择 $k$ 个人才能确保存在一个“以 $m$ 结尾的小队”。根据题意，第 $k$ 个人要么在小队中，要么不在小队中。不妨设第 $k$ 个人在小队中，则小队中剩下 $k-1$ 个人，必须至少选择 $n-k+1$ 个人才能确保存在一个人的编号大于 $m$。由于这 $n-k+1$ 个人中没有 $m$，因此此时必然存在一个编号小于 $m$ 的人，与“以 $m$ 结尾的小队”形成矛盾。同理，如果第 $k$ 个人不在小队中，那么必须选择 $n-k+1$ 个人才能保证存在一个人的编号大于 $m$，此时必然存在一个编号小于 $m$ 的人，同样与“以 $m$ 结尾的小队”形成矛盾。因此，假设不成立，至多选择 $n-1$ 个人就能确保存在一个“以 $m$ 结尾的小队”。

五、反证法经典例题八年级

在初中数学中，反证法也是一种常用的证明方法。下面给出一个反证法在八年级数学中的例题。

例题:

一个自然数的个位数是 $5$，去掉个位数后缩小$3$倍得到另一个自然数。证明：这两个自然数的差始终是 $45$ 的倍数。

考虑采用反证法。假设该自然数为 $5a$。去掉个位数，缩小 $3$ 倍后得到 $a$。

因为 $a$ 与 $5a$ 的个位数相同，可以推导出：

$a=10b+5$，其中 $b$ 是一个整数。

对 $5a$ 和 $3a$ 分别乘以 $10$ 后相减，可以得到：

$50b$。

由此可知，$5a$ 与 $3a$ 的差始终是 $45$ 的倍数。

六、反证法经典例题语文

除了在数学中运用比较广泛外，反证法在语文中也有很多应用。下面给出一个语文中常见的反证法例题。

例题:

王勃是唐朝文学家，也是第一个进入翰林院的文学家。如果一定有前赵皇帝，那么翰林院登第的第一位文学家就不会是王勃。

这道题目要求否定前提并给出结论，采用反证法最合适。假设第一位进入翰林院的文学家不是王勃，则必然有前赵皇帝。由于前赵时期没有翰林院一说，所以假设不成立，因此结论是：不存在前赵皇帝。

七、反证法经典例题及答案

下面给出一个反证法经典例题及答案。

例题:

已知 $x,y$ 为质数，且 $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$ 是整数，证明 $x=y$。

假设 $x \neq y$，不妨设 $x>y$。根据质数和整除的定义，可以得到:

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{x^2+y^2}{xy}$。

因为 $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$ 是整数，所以 $\dfrac{x^2+y^2}{xy}$ 也是整数，即 $xy$ 是 $x^2+y^2$ 的约数，但是 $x^2+y^2$ 的质因数必须是 $4k+1$ 的形式，因此 $xy$ 必须是 $4k+1$ 的形式，而 $x,y$ 都是奇数，所以 $xy$ 是 $4k+1$ 的形式。但是$x^2+y^2$ 的质因数必须是 $4k+1$ 的形式，而 $x,y$ 都是奇数，所以 $x^2+y