SGD优化算法——提升机器学习模型性能的必备利器

一、什么是SGD优化算法

SGD（Stochastic Gradient Descent）优化算法是机器学习中常用的优化方法，它是一种迭代式的优化方法，用于寻找损失函数的最小值。相较于传统的梯度下降算法，SGD每次随机选择一个样本进行迭代，因此可以避免一些复杂的计算量。常见的SGD算法包括Mini-Batch SGD和普通SGD。

SGD算法的核心思想是通过不断的迭代寻找当损失函数的梯度为0时的参数取值，从而实现对模型的优化。在训练过程中，SGD每次选取一个样本计算梯度，并根据梯度的方向以一定的步长调节参数，以期逐步降低损失函数的值，直到达到预定的收敛精度。

二、SGD优化算法的优点

相较于传统的梯度下降算法，SGD算法具有以下优点：

1、节省内存：每次只需要处理一个样本，可以节省大量的内存空间；

2、处理高维数据效果好：当数据维度比较高时，SGD算法具有更好的效果；

3、收敛速度快：由于每次迭代只处理一个样本，因此收敛的速度很快。

三、SGD优化算法在机器学习中的应用

SGD优化算法被广泛应用在机器学习领域，特别是在深度学习中。以下是一些常见的机器学习模型中使用SGD算法优化的例子：

1、线性回归模型中的SGD优化器；

class LinearRegression:
    def __init__(self, lr=0.01, num_iter=100000, fit_intercept=True, verbose=False):
        self.lr = lr
        self.num_iter = num_iter
        self.fit_intercept = fit_intercept
        self.verbose = verbose
        
    def __add_intercept(self, X):
        intercept = np.ones((X.shape[0], 1))
        return np.concatenate((intercept, X), axis=1)
    
    def __loss(self, h, y):
        return (1/2*len(y)) * np.sum((h-y)**2)
    
    def fit(self, X, y):
        if self.fit_intercept:
            X = self.__add_intercept(X)
            
        self.theta = np.zeros(X.shape[1])
        
        for i in range(self.num_iter):
            rand_idx = np.random.randint(0, X.shape[0])
            X_i = X[rand_idx,:]
            y_i = y[rand_idx]
            h = np.dot(X_i, self.theta)
            gradient = X_i.T.dot(h-y_i)
            self.theta -= self.lr * gradient
                
            if self.verbose and i % 10000 == 0:
                h = np.dot(X, self.theta)
                print(f'Iteration {i}, loss = {self.__loss(h, y)}')
    
    def predict(self, X):
        if self.fit_intercept:
            X = self.__add_intercept(X)
            
        return np.dot(X, self.theta)

2、逻辑回归模型中的SGD优化器；

class LogisticRegression:
    def __init__(self, lr=0.01, num_iter=100000, fit_intercept=True, verbose=False):
        self.lr = lr
        self.num_iter = num_iter
        self.fit_intercept = fit_intercept
        self.verbose = verbose
        
    def __add_intercept(self, X):
        intercept = np.ones((X.shape[0], 1))
        return np.concatenate((intercept, X), axis=1)
    
    def __sigmoid(self, z):
        return 1 / (1 + np.exp(-z))
    
    def __loss(self, h, y):
        return (-1/len(y)) * np.sum(y*np.log(h) + (1-y)*np.log(1-h))
    
    def fit(self, X, y):
        if self.fit_intercept:
            X = self.__add_intercept(X)
            
        self.theta = np.zeros(X.shape[1])
        
        for i in range(self.num_iter):
            rand_idx = np.random.randint(0, X.shape[0])
            X_i = X[rand_idx,:]
            y_i = y[rand_idx]
            z = np.dot(X_i, self.theta)
            h = self.__sigmoid(z)
            gradient = X_i.T.dot(h-y_i)
            self.theta -= self.lr * gradient
                
            if self.verbose and i % 10000 == 0:
                z = np.dot(X, self.theta)
                h = self.__sigmoid(z)
                print(f'Iteration {i}, loss = {self.__loss(h, y)}')
    
    def predict_proba(self, X):
        if self.fit_intercept:
            X = self.__add_intercept(X)
            
        return self.__sigmoid(np.dot(X, self.theta))
    
    def predict(self, X, threshold=0.5):
        return self.predict_proba(X) >= threshold

3、神经网络中的SGD优化器。

import numpy as np

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

class NeuralNetwork:
    def __init__(self, lr=0.01, num_iter=100, hidden_size=4, fit_intercept=True, verbose=False):
        self.lr = lr
        self.num_iter = num_iter
        self.fit_intercept = fit_intercept
        self.verbose = verbose
        self.hidden_size = hidden_size
        
    def __add_intercept(self, X):
        intercept = np.ones((X.shape[0], 1))
        return np.concatenate((intercept, X), axis=1)
    
    def __loss(self, y, y_hat):
        return -np.mean(y * np.log(y_hat) + (1-y) * np.log(1-y_hat))
    
    def initialize_parameters(self, X):
        input_size = X.shape[1]
        output_size = 1
        
        self.params = {
            'W1': np.random.randn(input_size, self.hidden_size) * 0.01,
            'b1': np.zeros((1, self.hidden_size)),
            'W2': np.random.randn(self.hidden_size, output_size) * 0.01,
            'b2': np.zeros((1, output_size))
        }
        
    def forward_propagation(self, X):
        Z1 = np.dot(X, self.params['W1']) + self.params['b1']
        A1 = np.tanh(Z1)
        Z2 = np.dot(A1, self.params['W2']) + self.params['b2']
        y_hat = sigmoid(Z2)
        cache = {
            'A1': A1,
            'Z2': Z2,
            'Z1': Z1
        }
        return y_hat, cache
    
    def backward_propagation(self, X, y, y_hat, cache):
        dZ2 = y_hat - y
        dW2 = np.dot(cache['A1'].T, dZ2) / X.shape[0]
        db2 = np.sum(dZ2, axis=0, keepdims=True) / X.shape[0]
        dZ1 = np.dot(dZ2, self.params['W2'].T) * (1 - np.power(cache['A1'], 2))
        dW1 = np.dot(X.T, dZ1) / X.shape[0]
        db1 = np.sum(dZ1, axis=0, keepdims=True) / X.shape[0]
        
        grads = {
            'dW2': dW2,
            'db2': db2,
            'dW1': dW1,
            'db1': db1
        }
        
        return grads
    
    def update_parameters(self, grads):
        self.params['W1'] -= self.lr * grads['dW1']
        self.params['b1'] -= self.lr * grads['db1']
        self.params['W2'] -= self.lr * grads['dW2']
        self.params['b2'] -= self.lr * grads['db2']
        
    def fit(self, X, y):
        if self.fit_intercept:
            X = self.__add_intercept(X)
        
        self.initialize_parameters(X)
        
        for i in range(self.num_iter):
            y_hat, cache = self.forward_propagation(X)
            loss = self.__loss(y, y_hat)
            grads = self.backward_propagation(X, y, y_hat, cache)
            self.update_parameters(grads)
            
            if self.verbose and i % 10 == 0:
                print(f'Iteration {i}, loss = {loss}')
        
    def predict(self, X):
        if self.fit_intercept:
            X = self.__add_intercept(X)
        
        y_hat, _ = self.forward_propagation(X)
        return y_hat

四、如何选择SGD的超参数

SGD算法中的超参数主要有学习率（learning rate）、迭代次数、batch size等等。合适的超参数对于模型性能的提升至关重要，以下是一些常用的选择方法：

1、学习率（learning rate）：通常情况下，学习率的选择会根据具体的数据集和模型来定。如果学习率过大，可能导致算法无法收敛；如果学习率过小，则算法的收敛速度会变得非常缓慢。通常情况下，我们可以初次设置学习率等于0.001，然后根据具体实验进行调整；

2、迭代次数：迭代次数应该足够大，以保证算法能够收敛到最优解。同时，迭代次数也不能太大，否则会导致算法耗费大量的时间和资源。一般来说，可以根据实际数据集大小和模型复杂度来确定迭代次数；

3、batch size：batch size通常是一个比较小的数值，但不宜过小或过大。如果batch size过大，将会导致算法内存不足，而过小则会影响模型的优化效果。因此，我们需要根据具体的数据集大小和配置环境确定一个合适的batch size。