巴特沃斯高通滤波器

一、巴特沃斯高通滤波器简介

巴特沃斯高通滤波器是数字信号处理中常用的一种滤波器。它是一类递归滤波器，采用了完整的极点零点布局。

这种滤波器对于频率大于一定值的信号，会进行滤波并将它们传递出去。如果信号的频率小于该值，则信号将被过滤掉。由于其在频域中具有平坦的特性，所以在设计带通、带阻滤波器时很有用。

巴特沃斯高通滤波器最大的特点是其在截止频率附近的幅值响应是非常陡峭的。但是，由于它是递归滤波器，所以在实现时需要注意其时间和空间复杂度。

二、巴特沃斯高通滤波器优缺点

优点：

巴特沃斯高通滤波器对于信号频率大于一定值的信号，具有非常好的响应特性。
在设计带通和带阻滤波器时，巴特沃斯高通滤波器很好地发挥了自己的作用。

缺点：

由于其是递归滤波器，所以实现时需要注意空间和时间复杂度。
在截止频率附近的幅度响应具有非常陡峭的特性，可能会导致一些相位失真的情况。

三、巴特沃斯低通滤波器

巴特沃斯滤波器具有非常好的通带特性和截止频率附近的幅度响应特性。因此，其在数字信号处理中有广泛应用。其中，巴特沃斯低通滤波器也是比较常用的一种滤波器。

巴特沃斯低通滤波器的传递函数为：

      b0 + b1*z^-1 + b2*z^-2 + b3*z^-3 + b4*z^-4
H(z) = --------------------------------------------
      a0 + a1*z^-1 + a2*z^-2 + a3*z^-3 + a4*z^-4

其中，a和b分别为滤波器的系数。对于一阶的巴特沃斯低通滤波器来说，其系数如下所示：

 b1 = b0 = (1 - cos(wc))/2
 b2 = 1 - cos(wc)
 b3 = (1 - cos(wc))/2
 a1 = -2*cos(wc)
 a2 = 2 - 2*cos(wc)

其中，wc为滤波器的截止频率。在巴特沃斯滤波器中，为了使得滤波器系统具有理想的特性，一般都会采用一组归一化的数字截止频率。如果我们将数字截止频率设为π，则可以得到：

 b1 = b0 = 0.2929
 b2 = 0.5858
 b3 = 0.2929
 a1 = -1.4142
 a2 = 0.5858

四、巴特沃斯高通滤波器python代码

使用Python实现巴特沃斯高通滤波器的代码如下：

import scipy.signal as signal

# 设计巴特沃斯高通滤波器
b, a = signal.butter(N, Wn, 'high')

# 使用巴特沃斯高通滤波器滤波
filtered_signal = signal.filtfilt(b, a, input_signal)

五、巴特沃斯高通滤波器传递函数

巴特沃斯高通滤波器的传递函数与巴特沃斯低通滤波器的传递函数类似。其传递函数为：

      b0*z^n + b1*z^(n-1) + ... + bn
H(z) = ------------------------------
      a0*z^n + a1*z^(n-1) + ... + an

其中，n为滤波器的阶数，a和b为滤波器的系数。对于一阶的巴特沃斯高通滤波器来说，其系数如下所示：

 b1 = -b0 = (1 + cos(wc))/2
 a1 = -2*cos(wc)

其中，wc为滤波器的截止频率。如果我们将数字截止频率设为π，则可以得到：

 b1 = -b0 = -0.2929
 a1 = -1.4142

六、四阶巴特沃斯低通滤波器

四阶的巴特沃斯低通滤波器与一阶的类似，只是将一阶的传递函数进行了平方。其传递函数为：

            b0^2*z^4 + b1^2*z^3 + b2^2*z^2 + b3^2*z + b4^2 
H(z) = -----------------------------------------------------------
        a0*z^4 + a1*z^3 + a2*z^2 + a3*z + a4

其系数如下所示：

 b0 = 0.0965
 b1 = 0.3857
 b2 = 0.5785
 b3 = 0.3857
 b4 = 0.0965
 a1 = -0.4684
 a2 = 1.4670
 a3 = -1.9319
 a4 = 1.1163

七、四阶巴特沃斯滤波器

四阶的巴特沃斯滤波器可以分为两个一阶的巴特沃斯滤波器的乘积。因此，其传递函数为两个一阶巴特沃斯滤波器的传递函数的乘积。

一个一阶巴特沃斯滤波器的传递函数为：

        b1*z + b0
H1(z) = ----------
        a1*z + a0

其系数为：

 b1 = b0 = (1 - sin(wc))/(2*sqrt(cos(wc)))
 a1 = -cos(wc)
 a0 = 1 + a1

如果我们将数字截止频率设为π，则可以得到：

 b1 = b0 = 0.7654
 a1 = -0.8478
 a0 = 1.5974

因此，四阶巴特沃斯滤波器的传递函数为：

        b1^2*b2*z^4 + b0^2*b2*z^3 + b1^2*z^2 + 2*b0*b1*b2*z + b0^2*z^0
H4(z) = -----------------------------------------------------------------------
            a1^2*a2*z^4 + a0^2*a2*z^3 + a1^2*z^2 + 2*a0*a1*a2*z + a0^2*z^0

其系数如下所示：

 b0 = 0.5352
 b1 = 2.1408
 b2 = 3.2112
 a1 = -2.3845
 a2 = 0.8612
 a0 = 1.0000

八、巴特沃斯滤波器matlab代码

使用MATLAB实现巴特沃斯高通滤波器的代码如下：

% 设计巴特沃斯高通滤波器
[b, a] = butter(N, Wn, 'high');

% 使用巴特沃斯高通滤波器滤波
filtered_signal = filtfilt(b, a, input_signal);

九、巴特沃斯高通滤波器截止频率

巴特沃斯高通滤波器的截止频率是非常重要的参数。它决定了该滤波器在对输入信号进行滤波时，需要滤掉哪些频率的信号。

一般来说，巴特沃斯滤波器的截止频率是归一化的数字截止频率，即截止频率除以采样频率的一半。可以使用下面的公式将数字截止频率转化为实际截止频率：

Wc = Wn/(Fs/2)

其中，Wn为数字截止频率，Fs为采样频率。

十、巴特沃斯高通滤波器代码

下面是一段Python代码，用于实现巴特沃斯高通滤波器：

import scipy.signal as signal

# 设计巴特沃斯高通滤波器
N = 4                  # 滤波器阶数
Wn = 0.5               # 归一化数字截止频率
b, a = signal.butter(N, Wn, 'high')

# 使用巴特沃斯高通滤波器滤波
filtered_signal = signal.filtfilt(b, a, input_signal)

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