一、背景介绍
在数学中，最大公约数（Greatest Common Divisor, 简称GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple, 简称LCM）是两个非常重要的概念。
最大公约数是指两个或多个整数共有约数中最大的一个，例如 8 和 12 的最大公约数是 4。
最小公倍数是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个，例如 4 和 6 的最小公倍数是 12。
获得最大公约数和最小公倍数有很多方法，本文将介绍用C++实现的方法。
二、辗转相除法
辗转相除法，又称欧几里得算法，是求最大公约数的经典方法。该算法基于如下性质：两个正整数a和b（a>b）的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。
代码实现如下：
int gcd(int a, int b)
{
if (a < b) //保证a大于b
swap(a, b);
if (b == 0)
return a;
return gcd(b, a % b);
}
对于求最小公倍数，可以先使用辗转相除法求出最大公约数，然后套用以下公式：
最小公倍数 = a×b / 最大公约数
代码实现如下：
int lcm(int a, int b)
{
return a * b / gcd(a, b);
}
三、更相减损术
更相减损术是另一种求最大公约数的方法。该算法基于如下性质：两个正整数a和b（a>b）的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b之间的最大公约数。
代码实现如下：
int gcd(int a, int b)
{
if (a < b)
swap(a, b);
while (a - b != b) //循环终止条件为 a-b=b
{
int temp = a - b;
a = max(b, temp);
b = min(b, temp);
}
return b;
}
但是，这种算法的效率远低于辗转相除法，因此不常用。
四、更优秀的实现
虽然辗转相除法已经很优秀了，但是还是可以进一步优化。
一种优化的方法是 Stein算法，结合了更相减损术和位移运算的思想。该算法在计算机上运行的效率比辗转相除法要高，因为位移运算比除法运算要快。
代码实现如下：
int gcd(int a, int b)
{
if (a == 0) return b;
if (b == 0) return a;
int shift;
for (shift = 0; ((a | b) & 1) == 0; ++shift)
{
a >>= 1;
b >>= 1;
}
while ((a & 1) == 0) a >>= 1;
do {
while ((b & 1) == 0) b >>= 1;
if (a > b) swap(a, b);
b -= a;
} while (b != 0);
return a << shift;
}
对于求最小公倍数，也可以使用 Stein算法。代码实现如下：
int lcm(int a, int b)
{
return a / gcd(a, b) * b;
}
五、总结
求最大公约数和最小公倍数是我们在编程中经常会碰到的问题，本文主要介绍了辗转相除法、更相减损术和 Stein算法三种方法，其中辗转相除法是应用最广泛的。
需要注意的是，在使用求最小公倍数公式时，由于乘法运算的结果可能超出 int 类型的范围，因此需要使用更高精度的数据类型，如 long long。
希望本文能够对读者有所帮助。
原创文章，作者：小蓝，如若转载，请注明出处：https://www.506064.com/n/297873.html
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