四边形不等式

四边形不等式是学习数学不等式的一大重点，它是最基本的数学不等式之一，也是中学奥数中经常出现的重要知识点。在数学、物理等领域都有一定的应用。

一、四边形不等式证明

四边形不等式的证明可以从三角形不等式开始，如下所示：

    a + b > c （三角形不等式）
    a + c > b
    b + c > a

将第一式与第二式相加，得：

    2a + b + c > a + b + c > max(a,b,c)

同理，将第一式与第三式相加，得：

    2b + a + c > a + b + c > max(a,b,c)

最后将第二式与第三式相加，得：

    2c + a + b > a + b + c > max(a,b,c)

综上可得：

    a + b + c > max(a,b,c)

进而推广到四边形：

    AB + BC + CD > AC 且 AC + CD + DA > AD
    两式相加，得 AB + BC + CD + DA > AC + AD

二、四边形边长关系不等式

对于任意四边形ABCD，它的四条边之间有以下的关系不等式：

    AB + BC ≥ AC
    AB + AD ≥ BD
    CD + AD ≥ AC
    CD + BC ≥ BD

三、四边形不等式队列

我们可以利用队列来解决四边形不等式的问题，通过维护一个单调不降的队列，实现对取最大值的优化。

代码示例：

    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        while(!q.empty() && a[q.back()] <= a[i]) q.pop_back();
        q.push_back(i);
        while(q.size() && q.front() = k) ans = max(ans, a[q.front()]);
    }

四、四边形不等式dp

四边形不等式也经常被用来优化动态规划问题。

代码示例：

    for(int i = 1; i = 0 && i - j <= k; j--) {
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + a[i] + a[j]);
        }
    }

五、四边形不等式优化

四边形不等式在实际问题中有很多的优化应用。

例如在计算几何中，当需要求解各个点之间的距离，可以使用四边形不等式来减少计算量。

代码示例：

    // 求点间距离
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = i + 1; j <= n; j++) {
            dist[i][j] = dist[j][i] = sqrt((x[i] - x[j]) * (x[i] - x[j]) + (y[i] - y[j]) * (y[i] - y[j]));
        }
    }
    // 利用四边形不等式优化求和
    for(int k = 1; k <= n; k++) {
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = i + 1; j <= n; j++) {
                dist[i][j] = dist[j][i] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]);
            }
        }
    }

六、四边形不等式是什么

四边形不等式是指四边形的四条边之和大于或等于对角线的长度。

七、不等式计算四边形的例题

例如，给出四边形所有边长度，如何判断它是不是一个凸四边形？

解题思路：

如果四边形的四条边长度分别为a,b,c,d，依据四边形的定义，若它是凸四边形，则可得两个不等式：

    1. a+b>c+d
    2. a+d>b+c

如果不符合其中任意一个式子，即可说明它不是凸四边形。

代码示例：

    if(a+b <= c+d || a+d <= b+c) cout << "不是凸四边形" << endl;
    else cout << "是凸四边形" << endl;

八、四边形的一个不等式

通过四边形不等式，可以得到以下不等式：

    (a+b+c+d)^2 ≥ 4(ac+bd) （柯西不等式）

可以应用于求多个向量点积的最大值等问题。

九、平行四边形不等式

平行四边形不等式是指对于任意两个向量u,v，都存在以下不等式关系：

    |u+v| ≤ |u| + |v|
    |u-v| ≤ |u| + |v|
    |u| ≤ |u+v| + |v|
    |v| ≤ |u+v| + |u|

代码示例：

    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < n; j++) {
            int d1 = abs(x[i] - x[j]);
            int d2 = abs(y[i] - y[j]);
            int d3 = abs(z[i] - z[j]);
            int len = max(max(d1, d2), d3);
            int ans1 = d1 + d2 + d3;
            int ans2 = 2 * len;
            if(ans1 < ans2) {
                cout << "No" << endl;
                return 0;
            }
        }
    }
    cout << "Yes" << endl;

十、四边形四条边相等一定是正方形吗

不一定。若四边形的两个对角线相等，则它是一个菱形；若且仅若它是菱形并且内角度数为直角，则它是一个正方形。