数值分析知识点总结

一、求解非线性方程

1、二分法

二分法又称为折半法，是最简单、最易于理解的一种迭代方法。它的基本思路就是根据函数值定位目标区间，然后缩小区间范围，直到满足精度要求或者次数达到了迭代次数上限。下面是二分法求解非线性方程的Python代码示例：

def f(x):
    return x ** 2 - 2

def bisection(a, b, eps, N):
    i = 0
    while i < N:
        c = (a + b) / 2
        if abs(f(c)) < eps:
            return c
        if f(a) * f(c) < 0:
            b = c
        else:
            a = c
        i += 1
    return None

print(bisection(1, 2, 1e-6, 100))

2、牛顿法

牛顿法是求解非线性方程最常用的方法之一，优点是收敛速度快，但是它的缺点是需要计算函数的导数，在一些情况下可能比较麻烦。下面是牛顿法求解非线性方程的Python代码示例：

def f(x):
    return x ** 2 - 2

def df(x):
    return 2 * x

def newton(a, eps, N):
    i = 0
    x = a
    while i < N:
        x = x - f(x) / df(x)
        if abs(f(x)) < eps:
            return x
        i += 1
    return None

print(newton(1.5, 1e-6, 100))

二、插值与拟合

1、拉格朗日插值

拉格朗日插值是一种常用的插值方法，它的基本思路是通过已知点的函数值来构造一个多项式函数，从而求解未知点的函数值。下面是使用拉格朗日插值求解函数在给定点的函数值的Python代码示例：

import numpy as np

def lagrange(x, y, xx):
    n = len(x)
    yy = 0
    for i in range(n):
        l = 1
        for j in range(n):
            if i != j:
                l *= (xx - x[j]) / (x[i] - x[j])
        yy += l * y[i]
    return yy

x = np.array([0, 1, 2])
y = np.array([1, 2, 1])
print(lagrange(x, y, 0.5))

2、最小二乘拟合

最小二乘拟合是通过最小化误差平方和来寻找最佳的拟合曲线，它可以用于线性拟合和非线性拟合。下面是使用最小二乘拟合方法对一组数据进行线性拟合的Python代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.array([1, 2, 3, 4])
y = np.array([1.2, 1.9, 3.2, 4.1])

A = np.vstack([x, np.ones(len(x))]).T
a, b = np.linalg.lstsq(A, y, rcond=None)[0]

plt.plot(x, y, 'o', label='Original data', markersize=10)
plt.plot(x, a * x + b, 'r', label='Fitted line')
plt.legend()
plt.show()

三、数值微分与数值积分

1、三点公式

三点公式是一种常用的数值微分方法，它的基本思路是利用已知点周围的函数值，通过求导公式计算出目标点的导数值。下面是使用三点公式对给定函数在给定点计算导数值的Python代码示例：

import numpy as np

def f(x):
    return np.exp(x)

def df(x, h):
    return (f(x+h)-f(x-h)) / (2*h)

print(df(0, 1e-6))

2、梯形法

梯形法是一种常用的数值积分方法，它的基本思路是将函数图像下面的区域拆分成多个梯形形状，然后通过计算每个梯形的面积来估计积分值。下面是使用梯形法计算给定函数在给定区间内的定积分值的Python代码示例：

import numpy as np

def f(x):
    return np.exp(-x ** 2)

def trapezoidal(a, b, n):
    h = (b - a) / n
    x = np.linspace(a, b, n+1)
    y = f(x)
    I = h * (np.sum(y) - 0.5 * (y[0] + y[-1]))
    return I

print(trapezoidal(0, 1, 10000))

四、常微分方程数值解

1、龙格-库塔法

龙格-库塔法是一种常用的数值解常微分方程方法，它的基本思路是通过多次迭代，逐步逼近每一个离散时间点上的解。下面是使用龙格-库塔法求解一阶常微分方程的Python代码示例：

import numpy as np

def f(t, y):
    return -y

def RK11(f, t0, y0, h, N):
    t = np.zeros(N+1)
    y = np.zeros(N+1)
    t[0], y[0] = t0, y0
    for i in range(N):
        k1 = f(t[i], y[i])
        k2 = f(t[i] + h, y[i] + h*k1)
        y[i+1] = y[i] + h * (k1 + k2) / 2
        t[i+1] = t0 + (i+1) * h
    return t, y

t, y = RK11(f, 0, 1, 0.1, 10)
print(y)

2、欧拉法

欧拉法是一种简单的数值解常微分方程方法，它的基本思路是通过泰勒级数展开对微分方程进行逼近，从而求解未来的函数值。下面是使用欧拉法求解一阶常微分方程的Python代码示例：

import numpy as np

def f(t, y):
    return -y

def euler(f, t0, y0, h, N):
    t = np.zeros(N+1)
    y = np.zeros(N+1)
    t[0], y[0] = t0, y0
    for i in range(N):
        y[i+1] = y[i] + h * f(t[i], y[i])
        t[i+1] = t0 + (i+1) * h
    return t, y

t, y = euler(f, 0, 1, 0.1, 10)
print(y)