Sherman-Morrison公式详解

小蓝 • 2024-12-20 15:06 • 编程

一、Sherman-Morrison公式推导

Sherman-Morrison公式是由Sherman和Morrison在1950年提出的一种用于求解线性方程组描述的方法，可用于增量计算矩阵的逆。Sherman-Morrison公式的推导过程如下：

假设矩阵A是一个n阶方阵，而B是一个n列向量，那么我们可以写出下列的线性方程

Ax = B

现在，我们希望求解一个新的线性方程，其中我们将增加一个列向量u

Ax' = B'

注意到该方程与原始方程仅有在右侧增加了一个向量B – B’ = u的区别。使用伴随矩阵，我们可以将这些方程的解表示成如下形式

x = A⁻¹B

和

x' = (A + uv^T)⁻¹ (B + uα)

其中, α = -v^T A⁻¹ u / (1+v^T A⁻¹ u)

现在我们来推导Sherman-Morrison公式。将两个解表示为：

x' = A⁻¹B - (A⁻¹uv^T A⁻¹)/(1 + v^T A⁻¹ u) * A⁻¹B

因此，

x' = (A⁻¹ - (A⁻¹uv^T A⁻¹)/(1 + v^T A⁻¹ u))B

注意到，我们已经得到了通过增加列向量(u)来计算线性方程组解的方法。

二、Sherman-Morrison公式有什么用

Sherman-Morrison公式可用于在计算机科学领域中，特别是在网络、通信和信号处理中。该公式可以用于增量计算矩阵的逆，从而节省存储空间和计算时间。例如，当需要计算一个大型矩阵的逆时，该公式可用于对矩阵逐步添加向量，从而逐步计算矩阵的逆。

三、Sherman-Morrison公式证明

证明1：使用特殊情况证明

当我们使用向量u = e_i时，其中e_i是i位置上为1，其余位置上为0的列向量时， uA⁻¹ = A⁻¹e_i。我们可以将向量A⁻¹e_i表示为第i列及仅有的非零列。我们将v设置为第j列，同时α设置为-A⁻¹[j][i] / A⁻¹[i][i]。将这些变量代入公式，我们得到

(x')_i = (A⁻¹[i][i] B_i - A⁻¹[i][j] B_j) / (1 - A⁻¹[j][i] / A⁻¹[i][i])

现在我们来证明，将x’代入原始方程Ax’ = B’中，我们可以得到B’，即

(A⁻¹ - A⁻¹ e_i [j][i] A⁻¹ / A⁻¹ [i][i]) B  = B′.

如果我们将矩阵A的第i行和第j行交换，则新的矩阵是A’。同时，我们假设x”是Ax”=B”的解，其中B”是通过增加一个列向量e_j得到的新向量。用x’插入原方程并将i和j交换，我们得到

x'' = A⁻¹B'' = (A + e_j v^T A)⁻¹ (B + e_j)

我们可以采用相同的方法来计算出x’和x”的不同之处，从而证明Sherman-Morrison公式的正确性。

证明2：使用矩阵分块证明

假设我们有一个矩形矩阵M和一个向量c，让我们考虑将一个单位向量d添加到该矩阵中的效果，即：

(M + dc^T)x = b

其中，x是一个长度为n的向量，相应地，M是一个n×n的矩阵，c和d也是n维的向量，b是任意n维向量。该方程可以推导出如下的线性回归方程

x - (dc^Tx) / (1 + c^Tx)d = (M + dc^T)⁻¹b

所以，Sherman-Morrison公式是可行的，并且推导得到的结果与使用矩阵分块证明的结果是相同的。因此，Sherman-Morrison公式是完整和可靠的。

四、Sherman-Morrison公式代码示例

我们可以使用以下代码来计算Sherman-Morrison公式:

import numpy as np

def sherman_morrison(A, u, v):
    
    # Compute the inverse of A:
    A_inv = np.linalg.inv(A)
    
    # Compute alpha:
    alpha = -1 * (np.dot(np.dot(A_inv, u), v)) / (1 + np.dot(v, np.dot(A_inv, u))) 
    
    # Compute the Sherman-Morrison inverse:
    A_inv_sm = A_inv - (np.dot(np.dot(np.dot(A_inv, u), np.transpose(v)), A_inv)) / (1 + np.dot(v, np.dot(A_inv, u)))
    
    return A_inv_sm

# Sample usage:
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5,6], [7, 8, 9]])
u = np.array([1,1,1])
v = np.array([1,0,1])

A_inv_sm = sherman_morrison(A, u, v)

print(A_inv_sm)

该示例用于计算一个3×3矩阵的Sherman-Morrison逆。输出将是一个3×3的矩阵。

五、结论

在本文中，我们对Sherman-Morrison公式进行了详细的阐述。我们探讨了解释Sherman-Morrison公式以及如何使用它来计算矩阵的逆的方法。此外，我们还提供了两种不同的证明方法和实际的Python代码示例，以便于读者更好地理解和应用Sherman-Morrison公式。

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