Lowess的全面解析

小蓝 • 2024-12-20 15:01 • 编程

一、什么是Lowess?

Locally Weighted Scatterplot Smoothing（局部加权散点图平滑），简称LOWESS，是一种非参数回归技术，主要用于确定在一个二元数据的散点图上（两个变量的数据分布图）的一个光滑的（或非粗糙的）的函数。相比于传统的线性回归，Lowess更适合对噪声数据进行拟合。在介绍Lowess的原理之前，我们先了解几个概念。

二、几个重要概念

1.离差平方和（SSE）：是指每个数据点到拟合直线的距离距离的平方之和。

2.带宽h：带宽即决定拟合直线上的点数，也可以理解成控制了拟合的光滑程度。

3.权重函数W：Lowess的特色在于采用了非线性的权重函数。在原点距离超过带宽h的点权重会被赋值为0，两点之间距离越近，权重越大。

三、Lowess原理

在Lowess中，我们以两个变量x和y画出散点图，用一条平滑曲线来描述变量之间的关系。这条曲线不是一次函数，也不是二次函数，而是由所有点组成的局部函数。

在计算曲线的每一个点处的函数值时，我们通过以下步骤：

1. 将当前点加入到窗口（窗口大小由带宽h设定）。

2. 在窗口内根据权重函数计算出每个数据点的权重（距离当前点越近的数据点权重越大）。

3. 根据权重计算出权重均值，并用它来对当前点进行平滑化。

4. 将当前点向右或向下移动一格，重复步骤1-3，直到计算完成。

from statsmodels.nonparametric.smoothers_lowess import lowess

# 生成随机数据
import numpy as np
np.random.seed(42)
x = np.linspace(-5, 5, 20)
y = np.sin(x) + np.random.normal(0, 0.5, len(x))

# 用lowess函数来拟合数据
z = lowess(y, x, frac=1./3, return_sorted=False)

四、Lowess应用场景

由于Lowess适用于非线性数据集，主要可以应用于以下几个方面：

1.在图形中平滑曲线。Lowess可用于对数据进行平滑处理，并绘制曲线以显示数据的趋势。

2.在趋势分析中。与其他非参数估计方法一样，Lowess对于确定数据的趋势是非常有用的。

3.在回归分析中。它可以使用x的值来预测y的值，这是回归分析的一种非参数方法。

五、优缺点

Lowess作为一种比较新的算法，具有以下优点：

1.可以更好地处理非线性数据集和噪声数据集。

2.可以适用于所有连续变量的数据集，不需要假设线性模型。

3.适用于小型数据集和高维数据集，但比其他非参数估计方法所需的计算量稍大。

但是，Lowess也有缺点，主要表现为：

1.可能不适用于大型数据集，对于大量的数据集计算时间更长。

2.需要进行尝试调整带宽h和阈值等参数。

六、总结

Lowess是一种非参数回归技术，旨在消除数据集中的噪声并拟合非线性数据集。它运用非线性的权重函数进行平滑处理，可以更好地凸显数据集的趋势。它适用于小型数据集和高维数据集，在实际应用中有较高的实用性，但需要注意在调整带宽和阈值时进行适当的优化。

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