yalmip：求解算法工具箱

yalmip是什么？它是一个用于求解数学问题的Matlab工具箱，其中的“yalmip”一词代表了“YALM”（Yet Another LMI Matlab Toolbox）和“IP”（Interior-Point algorithm）这两个概念的组合。它的应用范围非常广泛，包括但不限于优化、控制、信号处理、通信、计算机视觉以及机器学习等方面。通过本文，我们将会深入探讨yalmip在不同方面的应用。

一、yalmip可以用if函数吗

yalmip可以使用if函数，其代码示例如下：

x = sdpvar(1);
y = sdpvar(1);
F = [x >= y, if_else(x+y = 0, -x-y <= 0)];
optimize(F);

上述代码中，定义了两个sdp变量（请注意，sdpvar与Matlab的常规变量不同），并使用if_else构造约束条件。if_else是yalmip的内置函数，它将一个条件作为第一个参数，条件为真时返回第二个参数，否则返回第三个参数。在本示例中，条件是“x+y =0”；否则（即条件为假），约束条件为“-x-y<=0”。这表明，在满足某些条件时，yalmip可以使用if函数来构造其约束条件。

二、yalmip求解约束条件有m选取

在yalmip中，在给定一组可能的约束条件时，根据需要选择任意数量的限制条件可以通过使用“m选n”来实现，其中m是可能的约束条件的数量，n是需要选择的约束条件的数量。我们可以使用“binvar”函数定义二进制变量来表示特定的约束是否选中。下面我们来看一个例子：

% create variable
x = sdpvar(1);
y = sdpvar(1);

% create constraints
F1 = [x >= 0, y >= 0, y = 0, y >= 0, y <= 1-x/2];

% define binary variables
b1 = binvar(1);
b2 = binvar(1);

% define constraint with selection of multiple constraints
F = [[F1, -b1 <= 0], [F2, -b2 <= 0], [b1 + b2 == 1]];
optimize(F);

% check which constraints are selected
selected_constrains = [];
if value(b1) == 1
    selected_constrains = [selected_constrains, 'F1'];
end
if value(b2) == 1
    selected_constrains = [selected_constrains, 'F2'];
end
disp(['Selected constraints: ', strjoin(selected_constrains, ', ')]);

上述代码中，我们定义了两个约束条件F1和F2，然后定义了两个二进制变量b1和b2，这意味着我们最多可以选择一个约束条件。最后，我们将所有的约束条件合并到一起，并将其优化。最后，我们使用“value()”函数来检查哪些约束条件被选择。

三、yalmip求解一个混合整数规划问题

在yalmip中，可以使用intvar函数定义整数变量并将混合整数线性规划（MILP）问题转换为线性规划（LP）问题。对于这种情况，yalmip为我们提供了一种称为“Branch and Bound”的特殊求解器，用于在MILP问题中查找特定的最小或最大值。

% define variables
x = intvar(1,2);
y = sdpvar(1);

% define objective function, constraints
F = [x(1) + x(2) + y <= 10, x(1) - x(2) <= 5];
obj = -x(1) + x(2) + y;

% solve MILP problem
options = sdpsettings('solver','bnb');
optimize(F, obj, options);

% display optimized values
disp(['Optimal value: ' num2str(value(obj))]);
disp(['Optimal x(1): ' num2str(value(x(1)))]);
disp(['Optimal x(2): ' num2str(value(x(2)))]);

上述代码中，我们定义了两个整数变量和一个SDP变量，然后定义了一个目标函数（也称为优化函数）和一组约束条件。最后，在使用“sdpsettings()”函数定义选项对象时，我们将其参数设置为“bnb”，这将告诉yalmip使用Branch and Bound方法来解决MILP问题。最后，我们显示最佳解及其相关变量。

四、yalmip如何解决二次规划问题

在yalmip中，可以定义奇异半正定变量（如x），然后将它们作为变量来使用，而不必在代码中显式解出它们。这使得它可以自动探测到确切的问题形式，从而选择最佳求解器。以下是一个例子：

% define variables
x = sdpvar(2,1);

% define objective function, constraints
Q = [4, 1; 1, 2];
F = [x'*Q*x <= 1, sum(x) <= 1];

% solve QP problem
optimize(F,sum(x.^2));

% display optimized values
disp(['Optimal value: ' num2str(value(sum(x.^2)))]);
disp(['Optimal x(1): ' num2str(value(x(1)))]);
disp(['Optimal x(2): ' num2str(value(x(2)))]);

上述代码中，我们定义了一个2×1的SDP变量，将其用作变量，并定义了一个目标函数和一组约束条件。在这个例子中，因为x’*Q*x是一个二次项，所以yalmip会自动识别这是一个二次规划问题，并使用内置的二次规划求解器优化问题。最后，我们显示最佳解及其相关变量。

五、yalmip如何处理非线性约束

在yalmip中，如果我们需要处理非线性约束，我们可以使用“sdpfun()”函数，该函数可以将Matlab中的函数作为约束条件向量（请注意，这个函数必须是“凸函数”，在控制系统中又称为“Laurent函数”）。以下是一个例子：

% define variables
x = sdpvar(1);
y = sdpvar(1);

% define objective function, constraints
F = [y^3 + x^3 <= x^2 - y^2, 0 <= x <= 1];
obj = x-y;

% solve nonlinear problem
optimize(F, obj);

% display optimized values
disp(['Optimal value: ' num2str(value(obj))]);
disp(['Optimal x: ' num2str(value(x))]);
disp(['Optimal y: ' num2str(value(y))]);

上述代码中，我们定义了两个SDP变量并定义了一个目标函数和非线性约束条件。注意，这里我们使用求解器来处理这些非线性约束条件（本例中使用Ipopt求解器），而不需要手动解决这些条件。最后，我们将最佳解及其相关变量的值显示出来。

通过本文，我们已经了解了yalmip的各种应用。yalmip提供了一个灵活、高效、强大、易用和准确的框架，可以让我们轻松地解决各种复杂的数学问题。