用Python编写的平方根（sqrt）代码，精准计算数字x的准确值

小蓝 • 2024-12-15 12:50 • 编程

一、介绍

平方根（square root）是高中数学中比较基础的概念之一，也是在实际应用中非常常见的运算之一。Python内置的math库中提供了对平方根进行近似计算的sqrt函数，但由于计算机在进行浮点数运算时存在着精度误差，所以在一些精度要求比较高的场景下，我们需要自己编写平方根代码以达到精准计算数字x的准确值的目的。

二、计算方法

计算平方根的最基本方法就是不断地使得近似值的平方逼近待求值，这个过程类似于二分查找。最开始的时候可以将待求值x作为近似值，即x = s。每次将近似值与x/近似值求平均数，得到下一个近似值。不断重复这个过程，直到符合精度或者迭代次数达到了上限。

def sqrt(x):
    """
    计算数字x的平方根，精度要求1e-7
    """
    if x == 0:
        return 0
    res = x
    while abs(res * res - x) > 1e-7:
        res = (res + x / res) / 2
    return res

上面的代码中，初始近似值res被赋值为待求值x，while循环中每次将res与x/res求平均数，得到下一个近似值，并进行判断。在这个判断中，二者的平方差与精度要求1e-7进行比较，如果差距仍然较大，即近似值继续向待求值逼近，直到符合精度或者达到迭代次数上限。

三、优化方法

上面的算法是最基本的求解平方根的方法，但在实际应用中可能需要进行一些优化。这里介绍两种优化方法。

1. 牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种近似求解方程的方法，对于求平方根的问题，它的迭代公式如下：

x_n+1 = (x_n + a/x_n)/2

其中，a为待求的数字，x_n为第n个近似值。

在牛顿迭代法中，近似值的计算速度更快，通常情况下只需要数次迭代即可得到较为准确的结果。

def sqrt_newton(x):
    """
    牛顿迭代法计算数字x的平方根，精度要求1e-7
    """
    if x == 0:
        return 0
    res = x
    while abs(res * res - x) > 1e-7:
        res = (res + x / res) / 2
    return res

2. 二分法

另一个求解平方根问题的方法是二分法，这个方法在计算平方根的时候表现不如迭代法，但在其他求解方程问题上可能会更为实用。二分法的大致思路如下：

如果x>=1，那么x的平方根不可能大于x/2，不可能小于0，因此我们可以从0~x/2采用二分法进行迭代。

如果x<1，那么x的平方根不可能大于x，不可能小于0，因此我们可以从0~x采用二分法进行迭代。

二分法的代码示例如下：

def sqrt_binary(x):
    """
    二分法计算数字x的平方根，精度要求1e-7
    """
    if x == 0:
        return 0
    left, right = 0, max(x, 1)
    while left + 1e-7 < right:
        mid = (left + right) / 2
        if mid * mid < x:
            left = mid
        else:
            right = mid
    return left

四、总结

Python编写的平方根代码虽然不如内置的sqrt函数简单，但考虑到精度要求，自己编写代码时可以选择基本计算方法、牛顿迭代法或二分法等不同的计算方法，并根据实际情况进行优化。在实际应用中，还需要考虑到数据类型、运算速度等因素。掌握好求解平方根的方法，可以为我们在一些数学计算及相关问题的求解中提供很多方便。

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