蓄水池算法

一、蓄水池算法简介

蓄水池算法是一种随机算法，用于从数据流中等概率地随机选择k个数据，其中数据流长度未知或太大而无法一次性处理。此算法是一个在线算法，它以一个可处理的输入序列的若干个子集作为输入。该算法的核心思想是通过对数据流中的每个数据进行随机选择与替换，最终保证每个数据都有等概率地被选择到。

二、蓄水池算法证明

考虑数据流中第i个元素，设k = 1时，即需要从i个元素中进行等概率的随机选择，每个元素被选择的概率为1/i，即前i-1个元素未被选择，第i个元素被选择的概率为1/i。当k > 1时，前k-1个元素都以等概率1/i的概率被选择到，第k个元素以等概率k/i的概率被替换到前k个元素中的一个，即不被替换到的概率为1-k/i。因此，第k个元素被选择的概率为(1/i) * (k/i-1/k) = k/i，即每个元素最终被选择到的概率是相等的。

因此，蓄水池算法能够保证每个数据都有等概率地被选择到，且时间复杂度为线性。

三、蓄水池算法应用

蓄水池算法可以广泛应用于从一个非常大的数据集合中随机选择一定数量的元素，例如从大规模的电影数据集合中随机选择一部分进行评测。

四、蓄水池算法 leetcode

在leetcode中，蓄水池算法可以用于随机从一个数据流中选择k个数。例如，题目382. Linked List Random Node要求从一个链表中随机选择一个节点，可以使用蓄水池算法解决。具体实现代码如下：

class Solution {
public:
    ListNode* head;
    
    Solution(ListNode* head) {
        this->head = head;
    }
    
    int getRandom() {
        ListNode* node = head->next;
        int result = head->val;
        int count = 1;
        while (node) {
            int rand_int = rand() % (++count);
            if (rand_int == 0) {
                result = node->val;
            }
            node = node->next;
        }
        return result;
    }
};

五、蓄水池抽样

蓄水池抽样是蓄水池算法的一种扩展，它不仅能够从数据流中等概率地随机选择k个数据，还能够对每个数据元素进行赋权，使得随机选择的概率与其权重成正比。例如，从大规模的电影数据集合中随机选择一部分进行评测，并考虑不同电影之间的权重差异。

六、蓄水池抽样算法

蓄水池抽样算法与蓄水池算法的思想类似，只是需要对每个数据元素进行权重赋值，并使用加权随机数进行选择。具体实现可以使用以下的伪代码：

S = array of size k
w = array of weight of size k
i = 1
while there are elements in the input stream and i <= k
    read element x from the input stream
    if i <= k then
        S[i] = x
        w[i] = weight of x
    else
        j = a random integer from 1 to i (inclusive)
        if j <= k then
            S[j] = x
            w[j] = weight of x
    i = i + 1
for each element x in the input stream
    i = a random integer from 1 to k (inclusive) with probability w[i] / sum(w)
    if i <= k then
        replace S[i] with x
        replace w[i] with weight of x
return S

七、蓄水池容积计算方法

如果我们需要从一个蓄水池中计算其容积，即需要知道所选中的元素最小值与最大值之间的元素个数。此时，可以在蓄水池算法的基础上，记录下所选中的最小值与最大值，以及它们在所有数据中的位置。具体实现代码如下：

struct Element {
    int val;
    int pos;
};

vector reservoir_sampling(vector& nums, int k) {
    vector res;
    int i, j;
    for (i = 0; i < k; i++) {
        Element element;
        element.val = nums[i];
        element.pos = i;
        res.push_back(element);
    }
    for (; i < nums.size(); i++) {
        j = rand() % i;
        if (j < k) {
            Element element;
            element.val = nums[i];
            element.pos = i;
            res[j] = element;
        }
    }
    sort(res.begin(), res.end(), [](const Element& a, const Element& b){
        return a.val < b.val;
    });
    int left = min(res[0].pos, res[k-1].pos);
    int right = max(res[0].pos, res[k-1].pos);
    int cnt = 0;
    for (i = left; i = res[0].val && nums[i] <= res[k-1].val) {
            cnt++;
        }
    }
    return cnt;
}

八、长方形蓄水池立方计算方法

如果我们需要从一个长方形蓄水池中计算其立方体积，即需要知道所有元素组成的立方体体积。此时，可以在蓄水池算法的基础上，记录下所选中的最小值与最大值，以及它们所在的列号、行号，从而确定蓄水池的大小。具体实现代码如下：

struct Element {
    int val;
    int row, col;
};

vector reservoir_sampling(vector<vector>& nums, int k) {
    int m = nums.size();
    int n = nums[0].size();
    vector res;
    int i, j;
    for (i = 0; i < k; i++) {
        Element element;
        element.val = nums[i/n][i%n];
        element.row = i / n;
        element.col = i % n;
        res.push_back(element);
    }
    for (; i < m * n; i++) {
        j = rand() % i;
        if (j < k) {
            Element element;
            element.val = nums[i/n][i%n];
            element.row = i / n;
            element.col = i % n;
            res[j] = element;
        }
    }
    sort(res.begin(), res.end(), [](const Element& a, const Element& b){
        return a.val < b.val;
    });
    int row_begin = min(res[0].row, res[k-1].row);
    int row_end = max(res[0].row, res[k-1].row);
    int col_begin = min(res[0].col, res[k-1].col);
    int col_end = max(res[0].col, res[k-1].col);
    int sum = 0;
    for (i = row_begin; i <= row_end; i++) {
        for (j = col_begin; j <= col_end; j++) {
            sum += nums[i][j];
        }
    }
    return sum * ((row_end - row_begin + 1) * (col_end - col_begin + 1));
}

九、蓄水池算法难吗

蓄水池算法的思想简单，但代码实现需要考虑各种边界情况，容易出错。比如在删除替换后的元素时，需要判断数组是否越界；在计算蓄水池容积时，需要考虑最小值与最大值之间是否存在漏洞。

总的来说，蓄水池算法并不算很难，但需要熟练掌握数组与指针的操作，以及简单排序算法的实现，才能够快速、准确地解决各种问题。