Linear Interpolation：插值法

小蓝 • 2024-12-12 11:57 • 编程

一、Scipy中的linear interpolation

Python中的Scipy模块中包含了用于插值的工具，而其中的Linear Interpolation（线性插值）是最基本的一种插值方法。它可以根据已知数据点之间的直线，用于确定其它数据点的输出值。实际应用中，这种方法可以被用于反演、数据分类、图像处理、等值线绘制等多个领域。

from scipy.interpolate import interp1d
import numpy as np

x = np.linspace(0, 10, num=11, endpoint=True)
y = np.cos(-x**2/9.0)
f = interp1d(x, y)

xnew = np.linspace(0, 10, num=41, endpoint=True)
ynew = f(xnew)

此部分代码定义了输入数据x和y的插值函数f，并使用linspace函数对数据进行分配。接下来，我们将生成一个新的、更密集的点阵xnew，并使用f来计算每个点的输出值。下面将介绍线性插值的几个方面。

二、线性插值的原理

可以使用Scipy中的interp1d函数来创建插值函数对象。这里，已知数据点之间的数据线被用于计算在两点之间的点的数值预测：

f = interp1d(x, y)

这以后，我们可以通过这个函数调用计算其它的输出值：

ynew = f(xnew)

这个线性插值的过程可以用下面的公式来表示：

xnew = a + (b−a)×(x−min(x))/(max(x) - min(x))
ynew = f(a) + (f(b) - f(a))×(xnew - a)/(b - a)

这里a和b分别代表x的最小值和最大值。

三、线性插值的步骤

线性插值一般包含以下三个主要的步骤：

1.确定点的个数和位置

用来进行线性插值的输入数据包含两个向量：x和y。x中包含了已知的点的位置，而y中则包含对应的数值。

2.创建线性插值函数

在Scipy中，interp1d函数被用于创建线性插值函数。这个函数可以通过在已知的点的上下界上产生超出范围的新点，来对输出的值进行计算。

3.计算新的输出值

创建了插值函数之后，我们可以使用这个函数来计算新的输出值。需要注意的是，在使用interp1d函数创建插值函数时，我们需要声明一个边缘条件：

下降：最低点位于x中最后一个区间之外，输出将会等于x所在区间中的最后一个数据点的值。
上涨：最高点位于x中最后一个区间之外，输出将会等于x所在区间中的第一份数据点的值。
边界值可以使用fill_value关键字参数来设置为一个或多个值。如果fill_value=’extrapolate’，那么这个函数会根据最后一个或第一个已知值的斜率来扩展范围。

f = interp1d(x, y, kind='linear', fill_value="extrapolate")
xnew = np.linspace(x.min(), x.max(), num=500, endpoint=True)
ynew = f(xnew)

四、使用方法

在随机生成的数据点上，使用线性插值来计算新的x值：

import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d

x = np.linspace(0, 1, num=10, endpoint=True)
y = np.random.rand(10)
f = interp1d(x, y)
xnew = np.linspace(0, 1, num=50, endpoint=True)
ynew = f(xnew)

如果想要绘制这个插值函数，可以使用matplotlib图形库：

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x, y, 'o', xnew, ynew, '-')
plt.show()

下面将绘制一个图，其中插值函数为缩稿的1维连续函数：

五、总结

线性插值是一种基础的插值方式，可以被用于多种领域，如图像处理、反演等。在Python中，我们可以使用Scipy模块中的interp1d函数来进行线性插值的计算，需要注意的是在使用过程中，边缘情况的处理。线性插值是数学建模中的重要工具，求解数学问题时可以适用它，大大方便问题的解决。

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