高斯函数的傅里叶变换

一、从高斯函数的傅里叶变换推导

# 定义高斯函数
def gaussian(x, mu=0, sigma=1):
    return 1 / (sigma * math.sqrt(2 * math.pi)) * \
           math.exp(-1 / 2 * ((x - mu) / sigma) ** 2)

# 定义傅里叶变换
def fourier_transform(func, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    coefs = [complex(func(a + i * h)) for i in range(n)]
    result = []
    for k in range(n):
        sum = 0
        for j in range(n):
            sum += coefs[j] * cmath.exp(-2 * cmath.pi * 1j * j * k / n)
        result.append(sum * h)
    return result

# 计算高斯函数的傅里叶变换
result = fourier_transform(lambda x: gaussian(x), -10, 10, 256)

由于高斯函数是无限可导、连续、且函数值随着自变量的增大而迅速趋近于0的函数，因此高斯函数的傅里叶变换具有比较特殊的形式。

二、高斯函数的傅里叶变换证明

要证明高斯函数的傅里叶变换，需要用到傅里叶变换的一般公式：

$$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi i x \xi}dx$$

将高斯函数$f(x)$代入上式：

$$\begin{aligned}\hat{f}(\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x – \mu)^2 / 2\sigma^2}e^{-2\pi i x \xi}dx \cr &= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-[(x – \mu)^2 / 2\sigma^2 + 2\pi i x \xi]}dx \cr &= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-[x^2 – 2\mu x + \mu^2 – \mu^2 + 2 i \pi \sigma^2 \xi x + (2\pi i \xi \sigma^2)^2/4] / 2\sigma^2}dx \cr &= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x – \mu – i2\pi \xi\sigma^2)^2 / 2\sigma^2}e^{i2\pi \mu\xi}dx \cr &= e^{i2\pi \mu\xi} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x – \mu – i2\pi \xi\sigma^2)^2 / 2\sigma^2}dx \cr &= e^{i2\pi \mu\xi} e^{-2\pi^2 \sigma^4 \xi^2} \cr &= e^{i2\pi \mu\xi – 2\pi^2 \sigma^4 \xi^2}\end{aligned}$$

由此可知，高斯函数的傅里叶变换为：

$$\hat{f}(\xi) = e^{i2\pi \mu\xi – 2\pi^2 \sigma^4 \xi^2}$$

三、高斯函数的傅里叶变换是什么

高斯函数的傅里叶变换为一个更简单的高斯函数，这个高斯函数的“中心”在频率域上，而函数值在时间域上。

四、高斯函数的傅里叶变换的推导过程

高斯函数的傅里叶变换的推导过程已经在第二部分中详细说明。

五、高斯函数的傅里叶变换图像

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 计算高斯函数的傅里叶变换
result = fourier_transform(lambda x: gaussian(x), -10, 10, 256)

# 计算频率域
n = len(result)
freq = np.arange(n) / (n * (b - a))

# 绘制高斯函数及傅里叶变换
fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 12))
axes[0].plot(np.linspace(-10, 10, 512), [gaussian(x) for x in np.linspace(-10, 10, 512)])
axes[1].plot(freq, np.abs(result) ** 2)
plt.show()

运行该代码可得到以下图像：

图中左侧为高斯函数，右侧为高斯函数的傅里叶变换。

六、高斯函数的傅里叶变换的图线

高斯函数的傅里叶变换图线是一条钟形曲线，如下图所示：

七、sa函数的傅里叶变换

将sa函数的傅里叶变换视为高斯函数的特例，根据第二部分的证明过程，可知sa函数的傅里叶变换为：

$$\hat{f}(\xi) = e^{-\frac{\pi^2 \xi^2}{2}}\cdot sinc(\pi \xi)$$

其中，$sinc(x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}$。

八、高斯脉冲的傅里叶变换

高斯脉冲是高斯函数的一种特例，当$\sigma$趋近于0时，高斯脉冲趋近于矩形脉冲。由此可知，高斯脉冲的傅里叶变换的形式与矩形脉冲相同。

九、高斯信号的傅里叶变换

高斯信号指的是一组高斯函数在时间轴上的随时间变化而改变的形式，例如：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 定义高斯信号
def gaussian_signal(t, f, sigma):
    return gaussian(t, sigma=sigma) * np.exp(2 * np.pi * 1j * f * t)

# 计算高斯信号的傅里叶变换
result = fourier_transform(lambda x: gaussian_signal(x, 1, 0.5).real, -5, 5, 256)

# 计算频率域
n = len(result)
freq = np.arange(n) / (n * (b - a))

# 绘制高斯信号及傅里叶变换
fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 12))
t = np.linspace(-5, 5, 512)
axes[0].plot(t, gaussian_signal(t, 1, 0.5).real)
axes[1].plot(freq, np.abs(result) ** 2)
plt.show()

运行该代码可得到以下图像：

图中左侧为高斯信号，右侧为高斯信号的傅里叶变换。

十、矩形脉冲的傅里叶变换

矩形脉冲是一种理想的信号，可以用高斯函数的极限形式表示。矩形脉冲的傅里叶变换为：

$$\hat{f}(\xi) = sinc(\pi \xi)$$

这里的$sinc(x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}$。