探究hyperbolictangent函数

一、基本概念

双曲正切函数,也称为hyperbolictangent函数,是数学中的一种函数。它可以用来描述沿$x$轴方向逐渐扩散的物理量或者一些具有对称性的函数。其函数表达式为

f(x) = tanh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

其中$e$为自然对数的底数。

由于该函数较为简单,因此被广泛地运用在各个领域的数学模型中。

二、函数图像

探究一种函数,我们首先需要了解该函数的图像。

下图为$tanh(x)$在$[-4, 4]$区间内的函数图像:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-4, 4, 1000)
y = np.tanh(x)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('tanh(x) Function')
plt.show()

从图像上可以看出,当$x$趋近于正无穷或负无穷时,函数值$tanh(x)$趋于$\pm 1$。当$x=0$时,$tanh(x)$取得最小值$0$。

三、性质

1、导数

可得:

f'(x) = \frac{1 - tanh^2(x)}{cosh^2(x)}

则$tanh(x)$在每一点处的导数为$\frac{1 – tanh^2(x)}{cosh^2(x)}$。

2、反函数

由于$tanh(x)$为单调增加函数,在区间$(-\infty, \infty)$上具有反函数$tanh^{-1}(x)$,也称为$arc\;tanh(x)$函数。其函数表达式为:

tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}

其中$x \in [-1, 1]$。

3、数学重要性质

由于函数的对称性,$tanh(x)$有以下性质:

  • $tanh(-x)=-tanh(x)$
  • $tanh(2x)=\frac{2tanh(x)}{1+tanh^2(x)}$
  • $tanh(\frac{x}{2})=\frac{1}{1+e^{-x}}$

四、应用举例

1、神经网络的激活函数

在神经网络中,双曲正切函数作为一种非线性函数,经常被用作激活函数。在神经网络中,激活函数负责对传递到一个节点中的输入进行转换,以便在输出时出现非线性关系。

def tanh(x):
  return np.tanh(x)

def tanh_derivative(x):
  return 1 - np.tanh(x) ** 2

上述代码为$tanh(x)$在神经网络中的应用,其中$tanh\_derivative(x)$为$tanh(x)$的导数。

2、人工智能领域中的数据预处理

在深度学习中,自然界的任何信号都可以转化为一堆数字,在这些数字中,绝大部分都位于$[0,1]$或$[-1,1]$之间。将这些数据喂进神经网络前,常常需要先进行$z-score\;normalization$或$tanh\;normalization$等处理。其中,$tanh\;normalization$可以将数据所有元素映射到一个区间内,使得均值为0,方差为1。

总结

以上为双曲正切函数的基本概念、性质及在神经网络和人工智能领域中的应用。在实际应用中,掌握好$tanh(x)$的性质,可以提高复杂模型的计算速度和模型的拟合效果。

原创文章,作者:小蓝,如若转载,请注明出处:https://www.506064.com/n/206114.html

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