一、什么是泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在一定时间内某个事件发生的次数。
泊松分布的概率密度函数为：
P(X=k)= e^(-λ)*λ^k/k! (k=0,1,2,...)
其中，λ是事件在单位时间内平均发生次数，k表示实际发生的次数。
二、泊松分布的期望
泊松分布的期望为λ，表示在单位时间内事件的平均发生次数。
证明：
E(X)=∑(k=0,∞) k * P(X=k)
=∑(k=1,∞) k * P(X=k) //当k=0时，k乘以概率为0，故从1开始求和
=∑(k=1,∞) k * e^(-λ) * λ^k / k!
=λ * e^(-λ) * ∑(k=1,∞) [λ^(k-1) / (k-1)!]
=λ * e^(-λ) * e^λ
=λ
三、泊松分布的方差
泊松分布的方差为λ，与期望相等。
证明：
Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2
=∑(k=0,∞) k^2 * P(X=k) - λ^2 // 使用期望的计算公式
=∑(k=1,∞) k^2 * P(X=k)
=∑(k=1,∞) k * k * e^(-λ) * λ^k / k!
=λ * e^(-λ) * ∑(k=1,∞) [(k-1+1) * λ^(k-1) / (k-1)!]
=λ * e^(-λ) * [∑(k=1,∞) [(k-1) * λ^(k-1) / (k-1)!] + ∑(k=1,∞) [λ^k / (k-1)!]]
=λ * e^(-λ) * [λ * ∑(k=0,∞) [(λ^k) / k!] + e^λ]
=λ * e^(-λ) * [λ * e^λ + e^λ]
=λ * (λ+1)
=λ^2 + λ - λ^2
=λ
四、代码示例
下面是使用Python实现泊松分布的期望和方差计算：
import math
# 计算泊松分布的期望
def poisson_expectation(lamda):
return lamda
# 计算泊松分布的方差
def poisson_variance(lamda):
return lamda
# 示例：
print("泊松分布的期望：", poisson_expectation(3))
print("泊松分布的方差：", poisson_variance(3))
原创文章，作者：小蓝，如若转载，请注明出处：https://www.506064.com/n/201076.html
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