一、多项式置换群简介
在讨论Polya定理之前，我们先来了解一下多项式置换群的基本概念。多项式置换群是由一组多项式组成的置换群，称为Burnside环或不变环多项式环。这些多项式描述了对一个置换群的每一个元素进行置换时，具有相同的置换特征的置换数目。
我们以一个简单的置换群为例：旋转和翻转正方形。在任何一个旋转（0, 90, 180, 270度）或翻转（水平轴或垂直轴）时，正方形的每个顶点都是相等的。这个群的每个元素都是一个置换，它将正方形的一个位置映射到另一个位置。我们用符号表示这个置换群{1, r, r^2, r^3, s, sr, sr^2, sr^3}，其中r表示顺时针旋转90度，s表示水平翻转，sr表示先翻转再旋转。
接下来我们对这个旋转和翻转正方形的置换群进行探究。
二、Polya定理的定义及应用场景
Polya定理，又称环的多项式置换定理，由匈牙利数学家乔治·波利亚于1927年提出，是一个计数定理，用于计算多项式置换群在其操作的对象上的置换数。通俗来讲，它是计算寻找置换群中具有相同性质的置换数量的数学方法。
这个定理的应用场景非常广泛，比如许多数学问题、物理学问题、化学问题、统计学问题和计算机科学问题都可以用Polya定理解决。下面我们以数学问题为例，阐述Polya定理的应用。
三、Polay定理的原理
Polya定理的核心是多项式环上的恒等式：$$ \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}f(g)=\sum_{\omega\in \Omega}\frac{1}{|\text{Stab}(\omega)|}\sum_{g\in \text{Stab}(\omega)} f(g) $$
其中，G表示置换群，Ω表示置换作用的对象，Stab(ω)表示保持ω不变的置换组成的子群，f(g)表示置换群中的一个元素g在代数系统中的映射。
这个公式的意义是：对于一个多项式环中的多项式f(g)，它在置换群G中的所有置换作用下，恰好有任何一个相同特性的置换数量等于它在每个置换不变子集上面数值总和之和再除以置换群元素总数。
这个公式的证明比较复杂，在此不进行阐述，可以参考波利亚的原始论文或相关的学术文献。下面我们简单介绍一下它的应用方法。
四、Polya定理的应用方法及示例代码
通过Polya定理，我们可以快速求解置换群中具有相同置换性质的置换数目。下面我们以著名的四色定理为例，介绍一下Polya定理的应用方法。
四色定理是指任何一个平面地图都可以用四种颜色表示，而不会出现相邻两个区域颜色相同的情况。它是一个重要的计算几何问题，也是一个比较复杂的问题。在这个问题中，我们可以将平面地图看成一个由若干个区域组成的图形，然后将每个区域看作是一个点，不同区域之间的关系看作是边，从而让平面地图变成一个图。
下面是使用Polya定理求解四色定理的示例代码：
from sympy.combinatorics import PermutationGroup, PolyCycle
def four_color(graph):
"""
判断一个平面图是否需要四色定理
"""
n = len(graph)
pl_cycle = PolyCycle(*range(n))
G = PermutationGroup([pl_cycle])
for i in range(n):
for j in range(i):
if graph[i][j] == graph[j][i] == 1:
# 如果两个区域相邻，则它们不属于同一个轨道
# 所以Polya定理里的Omega是轨道的集合
# 这里用tuple将相邻的点放在一个轨道中
G = G.generate_stabilizer_subgroup([tuple(sorted([i, j]))])
# 使用Polya定理计算置换的数量
# 根据四色定理的证明，最小不等待四色数目为4^(r(G)-1)，其中r(G)是轨道的数量
return 4 ** (len(G.orbits()) - 1)
五、Polya定理的拓展及应用
Polya定理在计算置换群具有相同置换特征的置换数量方面有很好的应用效果，但是Polya定理的适用范围还有其他一些限制，比如镜面置换、旋转角度等。
不过，通过对Polya定理的拓展，我们可以解决更多的计数问题。比如，我们可以通过将置换群中的置换元素替换成其他对象，然后再将多项式函数的参数设置成元素权重来处理一些更加实用的问题。
除此之外，Polya定理还可以用于其他领域的数学研究和应用，比如在寻找许多数学问题、物理学问题、化学问题、统计学问题和计算机科学问题的解决方案中，都有很好的应用效果。
六、结论
通过对Polya定理的多个角度的阐述，我们了解了多项式置换群的基本概念、Polya定理的应用场景及其原理、使用Polya定理求解计数问题的方法及示例代码、Polya定理的拓展及应用。这些知识和应用对于理解数学、物理学、化学、统计学和计算机科学中的许多问题都有一定的启示作用。
原创文章，作者：小蓝，如若转载，请注明出处：https://www.506064.com/n/199941.html
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