DiagonalMatrix及其在编程中的应用

一、DiagonalMatrix是什么

DiagonalMatrix，中文名对角矩阵，是一种方阵，其非零元素只会出现在对角线上。因此，它的上三角和下三角都是零矩阵，可以表示为:

|d1  0  0 ... 0 |
|0  d2  0 ... 0 |
|0  0  d3 ... 0 |
|.  .   .  .    |
|.  .   .  .    |
|0  0   0 .. dn |

其中，d1,d2,d3,…,dn为对角线上的元素，也叫做对角线元素。

二、DiagonalMatrix在编程中的应用

1、线性代数计算

DiagonalMatrix在计算线性代数相关问题中有重要作用。例如，对于一个向量，如果与DiagonalMatrix相乘，则相当于对这个向量的每一个维度按照对角线上的元素进行缩放。在计算机图形学中，就可以通过对角矩阵来实现图像的缩放功能。

#include
#include
#include

using namespace Eigen;
using namespace std;

int main()
{
    //定义一个3维向量
    Vector3f v(1,2,3);
    //定义一个对角矩阵
    DiagonalMatrix diag;
    diag.diagonal()<<2,3,4; //对角线元素
    //向量与对角矩阵相乘
    Vector3f result = diag*v;
    cout<<result<<endl; // 输出: 2 6 12 
    return 0;
}

2、数据压缩

另一个应用场景是在数据压缩中，例如压缩图像数据。加入一张图片横向只有10个像素，纵向有100万个像素，那么完整的图片大小为10*1000000=10000000。但是如果我们知道该图片只有横向10个像素有颜色，其余的均为白色，则我们可以用DiagonalMatrix来表示：

#include
#include

using namespace Eigen;
using namespace std;

int main()
{
    int width = 10;
    int height = 1000000;
    MatrixXd A = MatrixXd::Zero(width,height);
    DiagonalMatrix D;
    for(int i = 0; i< width; ++i)
    {
        D.diagonal()[i] = 1.0; //对角线元素
    }
    MatrixXd result = D*A;
    cout<<result.rows()<<"*"<<result.cols()<<endl; //输出: 10*1000000 
    return 0;
}

3、对角矩阵的运算性质

对角矩阵还有一些在计算线性代数问题时非常有用的运算性质。例如，对角矩阵与另一个对角矩阵相加，结果仍然是对角矩阵；对角矩阵与另一个矩阵相乘，结果仍然是矩阵。

#include
#include

using namespace Eigen;
using namespace std;

int main()
{
    DiagonalMatrix A;
    A.diagonal()<<1,2,3; //对角线元素
    DiagonalMatrix B;
    B.diagonal()<<3,2,1; //对角线元素

    //对角矩阵加对角矩阵
    DiagonalMatrix C = A + B;
    cout << C.matrix() <<endl;//输出: 4  0  0
                                //     0  4  0
                                //     0  0  4

    MatrixXd D(3,3);
    D<<1,2,3,
       4,5,6,
       7,8,9;
    //对角矩阵乘任何矩阵，结果仍然是矩阵
    MatrixXd E = A*D;
    cout << E <<endl;//输出: 1  4  9
                        //     8 10 12
                        //    21 24 27

    return 0;
}

三、结语

DiagonalMatrix虽然看起来简单，但是在计算线性代数以及计算机图形学领域中都有着重要的应用。同时它拥有一些很有用的运算性质，这些性质在编程中使用时也非常方便。因此，在学习计算机相关专业的时候，我们也要学会善于运用DiagonalMatrix来解决自己遇到的问题。