pdist函数：多角度全面解析

一、简介

在数据处理和分析中，pdist函数扮演着非常重要的角色。该函数用于计算一组数据点中所有可能的点对之间的距离，并返回一个距离矩阵。

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import pdist

data = np.array([[1,2], [3,4], [5,6], [7,8]])
distances = pdist(data)

print(distances)

在上述代码中，我们首先导入了numpy和scipy.spatial.distance模块，并定义了一个包含4个点的数据数组。然后使用pdist函数计算了这些点之间的距离，并打印输出了距离矩阵。

二、距离度量

在pdist函数中，可以指定不同的距离度量方法来计算点对之间的距离。其中最常用的距离度量方法有以下几种：

• 欧几里得距离：即两点之间的直线距离。
• 曼哈顿距离：即两点之间的横纵坐标距离之和。
• 切比雪夫距离：即两点之间各个坐标数值差的绝对值的最大值。
• 闵可夫斯基距离：是欧几里得距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离的一种推广，可以指定p的值，当p=1时是曼哈顿距离，当p=2时是欧几里得距离，当p趋近于无穷大时是切比雪夫距离。

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import pdist

data = np.array([[1,2], [3,4], [5,6], [7,8]])
distances_euclidean = pdist(data, metric='euclidean')
distances_manhattan = pdist(data, metric='cityblock')
distances_chebyshev = pdist(data, metric='chebyshev')
distances_minkowski = pdist(data, metric='minkowski', p=3)

print(distances_euclidean)
print(distances_manhattan)
print(distances_chebyshev)
print(distances_minkowski)

在上述代码中，我们分别使用了欧几里得距离、曼哈顿距离和切比雪夫距离三种不同的距离度量方法，并使用metric参数指定相应的度量方法。同时我们还指定了p=3来计算闵可夫斯基距离，即使用了一种推广距离度量。

三、距离矩阵

除了返回一维的距离数组外，pdist函数还可以通过设置参数返回一个距离矩阵。距离矩阵是一个n*n的矩阵，其中第(i,j)个元素表示第i个点和第j个点之间的距离。

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import pdist, squareform

data = np.array([[1,2], [3,4], [5,6], [7,8]])
distances = pdist(data)
distance_matrix = squareform(distances)

print(distance_matrix)

上述代码中，我们首先使用pdist函数计算每对数据点之间的距离，然后使用squareform函数将一维的距离数组转换为二维的距离矩阵，并打印输出矩阵的值。

四、应用案例

最后，我们通过一个应用案例来展示pdist函数的实际应用。

假设我们需要对一个包含多个矩形的图像进行分割，可以先将图像中的所有像素点作为数据点，然后使用pdist函数计算每对像素点之间的距离。由于距离矩阵可以反映出不同像素点之间的相似度，因此我们可以使用聚类算法对像素点进行分组，并将同一组内的像素点打上相同的标记。

以下是一个简单的实现示例：

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
from sklearn.cluster import AgglomerativeClustering

# 构造数据
n_rectangles = 5
pixels_per_rectangle = 10
image_size = n_rectangles * pixels_per_rectangle
data = np.zeros([image_size**2, 2])
for i in range(n_rectangles):
    for j in range(n_rectangles):
        x = i*pixels_per_rectangle + np.random.randint(0, pixels_per_rectangle, pixels_per_rectangle**2)
        y = j*pixels_per_rectangle + np.random.randint(0, pixels_per_rectangle, pixels_per_rectangle**2)
        data[i*pixels_per_rectangle**2+(j*pixels_per_rectangle**2):(i+1)*pixels_per_rectangle**2+(j+1)*pixels_per_rectangle**2,0] = x
        data[i*pixels_per_rectangle**2+(j*pixels_per_rectangle**2):(i+1)*pixels_per_rectangle**2+(j+1)*pixels_per_rectangle**2,1] = y

# 计算距离
distances = pdist(data)

# 将距离转换为相似度，这里使用sigmoid函数来将距离压缩到[0,1]范围内
similarities = 1 / (1 + np.exp(-distances))

# 聚类
n_clusters = 5
clustering = AgglomerativeClustering(n_clusters=n_clusters, affinity='precomputed', linkage='average')
clustering.fit(similarities)

# 分组
labels = clustering.labels_

# 绘图
import matplotlib.pyplot as plt
fig, ax = plt.subplots(figsize=[6, 6])
for i in range(n_rectangles):
    for j in range(n_rectangles):
        rectangle_data = data[i*pixels_per_rectangle**2+(j*pixels_per_rectangle**2):(i+1)*pixels_per_rectangle**2+(j+1)*pixels_per_rectangle**2,:]
        rectangle_labels = labels[i*pixels_per_rectangle**2+(j*pixels_per_rectangle**2):(i+1)*pixels_per_rectangle**2+(j+1)*pixels_per_rectangle**2]
        colors = ['b', 'g', 'r', 'c', 'm', 'y', 'k']
        for k in range(n_clusters):
            ax.scatter(rectangle_data[rectangle_labels==k,0], rectangle_data[rectangle_labels==k,1], marker='o', color=colors[k], alpha=0.5)

plt.show()

上述代码中，我们首先构造了一个包含多个矩形的图像，并将每个像素点作为一个数据点，然后使用pdist函数计算每对像素点之间的距离。在计算相似度时我们使用sigmoid函数将距离压缩到[0,1]范围内。接着使用聚类算法对像素点进行分组，并将同一组内的像素点打上相同的标记。最后，我们将聚类结果可视化输出。

总结

本文详细介绍了pdist函数在数据处理和分析中的应用，包括距离计算、距离矩阵生成以及聚类等相关应用案例。pdist函数在实际工作中有着广泛的应用，熟练掌握该函数的使用方法可以帮助我们更加高效地完成数据分析任务。