全能编程开发工程师之Lyndon

一、什么是Lyndon

Lyndon是一种特殊的字符串，它是指任意长度字符串的最小循环移位，也就是将原字符串旋转任意个字符所得到的所有字符串中，字典序最小的字符串。Lyndon串在密码学中有很多应用，有些经典密码学算法就是基于Lyndon串的，而且它在字符串算法中广泛应用，比如字符串匹配等。

举个例子，比如要把ababab做旋转，可以得到6个结果：ababab、bababa、ababab、bababa、ababab、bababa。把这6个字符串排个序，可以得到6个字符串：ababab、ababab、ababab、bababa、bababa、bababa。而我们需要找到其中的Lyndon串，也就是字典序最小的字符串，即ababab。

二、Lyndon串的性质

Lyndon串有一些特别的性质，下面我们来介绍一下。

1、Lyndon串是原串的循环移位中字典序最小的串。

2、Lyndon串不能被更小的Lyndon串的循环移位所表示。

3、任意一个字符串都可以表示为若干个Lyndon串的连接，这些Lyndon串可以按字典序排列。

4、一个串是Lyndon串的充要条件是它本身小于所有非平凡循环移位的最小值。

这些性质可以用来做一些有趣的事情，比如求一个长字符串中最短的Lyndon串，或者求Lyndon串的个数等。

三、Lyndon分解

根据Lyndon串的性质，我们可以将任意一个字符串进行分解，使得每个分解部分都是一个Lyndon串。

def lyndon_decompo(s):
    """
    对字符串s进行Lyndon分解
    """
    res = []
    i = 0
    while i < len(s):
        j, k = i, i + 1
        while k < len(s) and s[j] <= s[k]:
            if s[j] < s[k]:
                j = i
            else:
                j += 1
            k += 1
        while i <= j:
            res.append(s[i: i + k - j])
            i += k - j
    return res

上面的代码中，我们从i开始，找到一个比s[i]大的位置k，然后从j开始找到一个位置，使得从j到k的所有子串都不是Lyndon串。这样得到一个Lyndon分解，时间复杂度是O(N)。

四、Lyndon串的应用

Lyndon串在字符串算法中有很多应用，这里列举两个常见的应用：字符串匹配和Lyndon串的个数。

五、字符串匹配

字符串匹配是一个比较经典的问题，主要是检查文本串中是否有一个模式串出现。我们可以用暴力算法或者KMP算法等来解决这个问题，下面我们介绍一种基于Lyndon串的字符串匹配算法。

def lyndon_search(s, pattern):
    """
    基于Lyndon串的字符串匹配算法
    """
    def solve(A, pattern):
        if not A:
            return False
        if A[0] == pattern:
            return True
        if A[0] > pattern:
            return False
        # 对每个前缀进行继续分解
        for i in range(1, len(A)):
            if solve(A[:i], pattern) and solve(A[i:], pattern):
                return True
        return False
    # 将s分解为Lyndon串列表
    A = lyndon_decompo(s)
    # 递归地寻找pattern
    return solve(A, pattern)

上面的代码中，我们将文本串s进行Lyndon分解，然后递归地寻找模式串pattern是否在Lyndon分解列表中出现。这个算法的时间复杂度主要取决于Lyndon分解的时间复杂度，最坏情况下是O(N ^ 2)。

六、Lyndon串的个数

我们可以用dp方法来求解n长度字符串中的Lyndon串数量，下面给出代码实现。

def count_lyndon(n):
    """
    求n长度字符串中的Lyndon串数量
    """
    dp = [1] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i // 2, 0, -1):
            dp[i] += dp[j]
    return dp[n]

上面的代码中，我们用dp[i]表示长度为i的字符串中的Lyndon串数量。对于任意一个i，我们可以将其分成两个长度为j和长度为i-j的子串。如果这两个子串不等，那么dp[i]就可以加上dp[j]。这样我们可以递推得到所有的dp[i]。

七、小结

通过本文的介绍，我们了解了Lyndon串的概念、性质、分解以及应用。Lyndon串在密码学、字符串算法中都有广泛的应用，对于算法开发工程师来说，了解Lyndon串的概念和性质可以给我们带来很多启示。而代码实现方面，我们介绍了Lyndon分解、字符串匹配和求Lyndon串数量等算法的实现方法。