差分数组的定义及用途

一、差分数组的定义

差分数组是一种特殊的数组，是由原数组按照一定规则变换得到的，其元素的值对应着原数组中相邻元素的差值。假设原数组为A，差分数组为D，则有：

D[i] = A[i] - A[i-1]   (i > 0)
D[i] = A[0]            (i = 0)

其中，D[0]表示A[0]本身，相当于A[0]与A[-1]的差值为0。

差分数组还可以通过反推得到原数组。假设差分数组为D，原数组为A，则有：

A[0] = D[0]
A[i] = A[i-1] + D[i]  (i > 0)

二、差分数组的用途

1. 区间加、区间求和问题

在一些求区间和或计算区间加的问题中，可以通过构造一个差分数组，将问题转化为对差分数组的处理。例如，给定一个长度为n的数组A和m个操作，每次操作是将区间[l, r]中的元素加上v，求最终A中各元素的值。可以定义一个差分数组D，D[i]表示A[i]与A[i-1]之差，这样，我们对区间[l, r]进行加v的操作，就相当于将D[l]、D[l+1]、……、D[r]分别加上v。最后，由于A[i] = D[0]+D[1]+……+D[i]，因此，我们可以对差分数组D求一遍前缀和得到最终的A数组。

以下是区间加、区间求和问题的示例代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;
int a[N], d[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i > a[i];
    for(int i = 1;i > l >> r >> v;
        d[l] += v;
        d[r+1] -= v;
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        d[i] += d[i-1];
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        cout << d[i] << " ";
    cout << endl;
    return 0;
}

2. 差分约束系统问题

在一些约束条件下，求解一组变量的最大值或最小值，可以通过差分约束系统来求解。例如，假设存在若干个变量x_i(i = 1,2,……,n)，其中部分变量之间有形如x_i – x_j ≤ d(k为常数)的约束条件，求满足约束条件的变量x的最大值或最小值。

我们可以使用差分数组来维护这个约束系统。我们定义一个差分数组D，D[i]表示x[i]与x[i-1]之间的差值。因此，如果有形如x[i] – x[j] ≤ d的约束，可以转换为D[i] ≤ d – D[j]。这样，我们就可以将差分约束系统转化为一系列不等式，再使用拓扑排序求解即可。

以下是差分约束系统问题的示例代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010, M = 100010, INF = 0x3f3f3f3f;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int d[N], q[N];
bool st[N];
int n, m;

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

bool check(int mid)
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    memset(d, 0, sizeof d);
    memset(st, 0, sizeof st);
    idx = 0;
    for(int i = 1;i  mid) continue;
        add(e[i], e[i]-1, -1);
        add(e[i]-1, e[i], 1);
        d[e[i]] += 1;
    }
    int hh = 0, tt = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        if(!d[i])
            q[tt++] = i, st[i] = true;
    while(hh != tt)
    {
        int t = q[hh++];
        for(int i = h[t];i != -1;i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            d[j]--;
            if(d[j] == 0) q[tt++] = j, st[j] = true;
            d[j] = max(d[j], d[t] + w[i]);
        }
    }
    for(int i = 1;i > n >> m;
    for(int i = 1;i > a >> b >> c;
        e[i] = b, ne[i] = h[a], w[i] = c, h[a] = i;
    }
    int l = 0, r = INF;
    while(l > 1;
        if(check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    cout << l << endl;
    return 0;
}

三、总结

差分数组是一种特殊的数组，可以通过原数组变换得到。在一些区间求和或区间加等问题中，差分数组可以帮助我们高效地求解。同时，在差分约束系统问题中，差分数组也可以帮助我们转换为不等式，从而求解最大值或最小值。因此，熟练掌握差分数组的定义及应用，对于高效解决一些实际问题有着重要的作用。