扩展卡尔曼滤波

一、概述

扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）是基于贝叶斯滤波理论的一种常见的非线性滤波方法，用于估计动态系统的状态。与卡尔曼滤波（Kalman Filter，KF）相比，EKF可以处理一些非线性系统，但也有一些限制。在此文章中，我们将对扩展卡尔曼滤波进行详细阐述。

二、原理

扩展卡尔曼滤波的原理可以分为两部分：预测和更新。预测步骤思路与卡尔曼滤波相同，即对每个时间步进行预测，得到预测状态和协方差矩阵。更新步骤则是通过测量值进行状态的更新和估计。

对于非线性系统，需要使用扩展卡尔曼滤波来完成预测步骤和更新步骤。扩展卡尔曼滤波通过线性化非线性系统来实现预测和更新。具体方法是用泰勒级数展开非线性函数，得到一个近似的线性函数，再用卡尔曼滤波的方式进行状态估计。

三、应用

扩展卡尔曼滤波可以广泛应用于估计非线性动态系统的状态，比如机器人定位、自动驾驶、目标跟踪等等。下面我们以目标跟踪为例，来说明扩展卡尔曼滤波的应用。

在目标跟踪中，我们可以用摄像头或者雷达等传感器来获取目标的位置信息，并根据位置信息估计目标的速度等状态信息。此时，扩展卡尔曼滤波可以根据状态转移方程进行预测，当我们得到雷达等传感器的测量值时，再根据测量方程来进行状态的更新，得到更准确的目标状态。

四、代码示例

import numpy as np

# EKF预测步骤
def predict(x, P, F, Q):
    x = np.dot(F, x)
    P = np.dot(np.dot(F, P), F.T) + Q
    return x, P

# EKF更新步骤
def update(x, P, m, H, R):
    y = m - np.dot(H, x)
    S = np.dot(np.dot(H, P), H.T) + R
    K = np.dot(np.dot(P, H.T), np.linalg.inv(S))
    x = x + np.dot(K, y)
    P = np.dot((np.eye(len(x)) - np.dot(K, H)), P)
    return x, P

# 线性化非线性系统
def linearize(fx, F, x, hx, H):
    F = np.array([[F[i,j].subs(zip(x, xe)) for i in range(len(x))] for j in range(len(xe))], dtype=np.float64)
    return F, H

# 定义状态转移方程和测量方程
def fx(x, dt):
    return np.array([x[0]+x[1]*dt, x[1]])

def hx(x):
    return np.array([x[0], x[1]])

# 定义各个变量
dt = 0.1
Q = np.diag([0, 0])
R = np.eye(2)*0.1
F = np.array([[1, dt], [0, 1]])
H = np.eye(2)

x = np.array([0, 0])
P = np.diag([100, 100])
m = np.array([1, 0])

# 进行EKF预测和更新
F, H = linearize(fx, F, x, hx, H)
x, P = predict(x, P, F, Q)
x, P = update(x, P, m, H, R)

五、总结

扩展卡尔曼滤波作为一种基于贝叶斯滤波理论的非线性滤波方法，在估计非线性动态系统的状态方面具有广泛应用。通过对非线性系统进行线性化，可以使用卡尔曼滤波的方式进行状态估计，从而提高了系统的准确性。