CDQ分治算法详解

一、基本介绍

CDQ分治算法是一种高效的算法，用于解决区间查询，区间修改的问题。该算法分而治之，先对问题进行分割，再对每一部分进行排序，最后合并。因为该算法将数据分为三个部分，所以又被称为三分治。CDQ分治已经被广泛应用在计算几何、计算机视觉、字符串匹配等领域。

二、算法流程

CDQ分治的算法流程可以分为三个部分：

1. 分割

将问题分为左、中、右三个部分。中间部分我们需要解决，而左右部分不需要再次分割。

2. 排序

对中间部分进行排序。排序时使用归并排序或快速排序等经典算法。

3. 合并

合并左、中、右三个部分。左、右部分不需要经过排序，中间部分已经排好序，所以我们只需要考虑中间部分和左右两部分的合并。在合并的同时，我们需要根据具体情况计算出所需的一些参数值来解决需要解决的问题。

三、代码示例

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define MAXN 100010
#define lowbit(i) (i & (-i))

struct Query {
    int id, x, y, z, ans;
} q[MAXN], t[MAXN];

struct Node {
    int num, ans;
} tr[MAXN];

bool cmp1(const Query &a, const Query &b) {
    if (a.x == b.x && a.y == b.y) return a.z < b.z;
    if (a.x == b.x) return a.y < b.y;
    return a.x < b.x;
}

bool cmp2(const Query &a, const Query &b) {
    return a.id < b.id;
}

void add(int x, int v) {
    while (x > 1;
    CDQ(l, mid);
    CDQ(mid + 1, r);
    int i = l, j = mid + 1, k = 0, cnt = 0;
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (q[i].y <= q[j].y) {
            if (q[i].z == 0) add(q[i].y, 1);
            t[k++] = q[i++];
        } else {
            if (q[j].z == 1) {
                q[j].ans += query(q[j].y) - query(q[j].x - 1);
                cnt++;
            }
            t[k++] = q[j++];
        }
    }
    while (i <= mid) {
        if (q[i].z == 0) add(q[i].y, 1);
        t[k++] = q[i++];
    }
    while (j <= r) {
        if (q[j].z == 1) {
            q[j].ans += query(q[j].y) - query(q[j].x - 1);
            cnt++;
        }
        t[k++] = q[j++];
    }
    for (int i = 0; i < cnt; i++) add(q[l + i].y, -1);
    for (int i = 0; i > n;
    for (int i = 1; i > x >> y;
        q[++m] = {i, x, y, 0};
    }
    int qn;
    cin >> qn;
    for (int i = 1; i > x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        q[++m] = {i, x2, y2, 1};
        q[++m] = {i, x1 - 1, y2, 1};
        q[++m] = {i, x2, y1 - 1, 1};
        q[++m] = {i, x1 - 1, y1 - 1, 1};
    }
    sort(q + 1, q + 1 + m, cmp1);
    CDQ(1, m);
    sort(q + 1, q + 1 + m, cmp2);
    for (int i = 1; i <= qn; i++) cout << q[i].ans << endl;
    return 0;
}

四、总结

CDQ分治算法是一种高效的算法，适用于解决区间查询、区间修改等问题。该算法具有一定的难度，需要掌握基本的算法思想，结合实际问题进行练习。希望读者能够通过本文理解并掌握该算法。